Решение задачи Коши y' - y = e^x, y(0) = 1

Задание: Решить задачу Коши \( y' - y = e^x \), \( y(0) = 1 \). Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его методом произвольной постоянной (методом Лагранжа). 1. Решим соответствующее однородное уравнение: \[ y' - y = 0 \] \[ \frac{dy}{dx} = y \] \[ \frac{dy}{y} = dx \] Интегрируем обе части: \[ \ln|y| = x + \ln|C| \] \[ y_{оо} = C \cdot e^x \] 2. Найдем общее решение неоднородного уравнения, считая \( C \) функцией от \( x \): \[ y = C(x) \cdot e^x \] Находим производную: \[ y' = C'(x) \cdot e^x + C(x) \cdot e^x \] Подставляем \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение \( y' - y = e^x \): \[ C'(x)e^x + C(x)e^x - C(x)e^x = e^x \] \[ C'(x)e^x = e^x \] \[ C'(x) = 1 \] Интегрируем: \[ C(x) = x + C_1 \] Тогда общее решение имеет вид: \[ y = (x + C_1)e^x \] 3. Найдем частное решение, используя начальное условие \( y(0) = 1 \): Подставим \( x = 0 \) и \( y = 1 \) в общее решение: \[ 1 = (0 + C_1)e^0 \] \[ 1 = C_1 \cdot 1 \] \[ C_1 = 1 \] 4. Запишем окончательный ответ: \[ y = (x + 1)e^x \] Ответ: Третий вариант \( y = (x + 1)e^x \).