Решение:

Задание: Найдите общее решение уравнения \( (1 + e^{3y})x \cdot dx = e^{3y} dy \). Решение: Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные так, чтобы все члены с \( x \) были при \( dx \), а с \( y \) — при \( dy \). 1. Разделим обе части уравнения на \( (1 + e^{3y}) \): \[ x \, dx = \frac{e^{3y}}{1 + e^{3y}} dy \] 2. Проинтегрируем обе части уравнения: \[ \int x \, dx = \int \frac{e^{3y}}{1 + e^{3y}} dy \] 3. Вычислим интегралы: Левая часть: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Правая часть (используем метод подведения под знак дифференциала): Заметим, что \( d(1 + e^{3y}) = 3e^{3y} dy \), следовательно \( e^{3y} dy = \frac{1}{3} d(1 + e^{3y}) \). \[ \int \frac{e^{3y}}{1 + e^{3y}} dy = \frac{1}{3} \int \frac{d(1 + e^{3y})}{1 + e^{3y}} = \frac{1}{3} \ln(1 + e^{3y}) \] 4. Объединим результаты и добавим произвольную постоянную \( C \): \[ \frac{x^2}{2} = \frac{1}{3} \ln(e^{3y} + 1) + C \] 5. Сопоставим с вариантами ответов: Полученное выражение полностью совпадает со вторым вариантом. Ответ: Второй вариант \( \frac{x^2}{2} = \frac{1}{3} \ln(e^{3y} + 1) + C \).