Решение: Найти изображение Лапласа для f(t) = ∫₀ᵗ e^τ sin(τ) dτ

Задание: Найти изображение \( F(p) \) для оригинала \( f(t) = \int_{0}^{t} e^{\tau} \sin \tau \, d\tau \). Решение: Для решения данной задачи воспользуемся свойствами преобразования Лапласа. 1. Сначала найдем изображение для функции \( \sin t \). Согласно таблице изображений: \[ \sin t \fallingdotseq \frac{1}{p^2 + 1} \] 2. Применим теорему смещения. Если \( g(t) \fallingdotseq G(p) \), то \( e^{at} g(t) \fallingdotseq G(p - a) \). В нашем случае \( a = 1 \), поэтому для функции под интегралом получаем: \[ e^t \sin t \fallingdotseq \frac{1}{(p - 1)^2 + 1} \] 3. Теперь воспользуемся свойством интегрирования оригинала. Если \( g(t) \fallingdotseq G(p) \), то изображение интеграла от этой функции находится по формуле: \[ \int_{0}^{t} g(\tau) \, d\tau \fallingdotseq \frac{G(p)}{p} \] 4. Подставим наше выражение в эту формулу: \[ f(t) = \int_{0}^{t} e^{\tau} \sin \tau \, d\tau \fallingdotseq \frac{1}{p \cdot [(p - 1)^2 + 1]} \] Таким образом, искомое изображение имеет вид: \[ F(p) = \frac{1}{p[(p - 1)^2 + 1]} \] Ответ: Четвертый вариант в списке.