Решение: Найти оригинал для F(p) = 3/(p^2 + 2p - 3)

Задание: Найти оригинал \( f(t) \) для данного изображения \( F(p) = \frac{3}{p^2 + 2p - 3} \). Решение: 1. Преобразуем знаменатель дроби, выделив в нем полный квадрат: \[ p^2 + 2p - 3 = (p^2 + 2p + 1) - 1 - 3 = (p + 1)^2 - 4 \] Заметим, что \( 4 = 2^2 \). Тогда изображение принимает вид: \[ F(p) = \frac{3}{(p + 1)^2 - 2^2} \] 2. Вспомним таблицу основных изображений и теорему смещения. Известно, что для гиперболического синуса: \[ \text{sh}(at) \fallingdotseq \frac{a}{p^2 - a^2} \] Согласно теореме смещения, если \( g(t) \fallingdotseq G(p) \), то \( e^{\alpha t} g(t) \fallingdotseq G(p - \alpha) \). В нашем случае смещение равно \( -1 \) (так как в знаменателе \( p + 1 \)), значит \( \alpha = -1 \). 3. Приведем наше выражение к табличному виду, где \( a = 2 \). Для этого умножим и разделим дробь на 2: \[ F(p) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{(p + 1)^2 - 2^2} \] 4. Теперь находим оригинал: - Дроби \( \frac{2}{p^2 - 2^2} \) соответствует оригинал \( \text{sh}(2t) \). - Наличию \( (p + 1) \) вместо \( p \) соответствует множитель \( e^{-t} \). - Константа \( \frac{3}{2} \) остается перед функцией. Получаем: \[ f(t) = \frac{3}{2} e^{-t} \text{sh}(2t) \] Ответ: Четвертый вариант \( f(t) = \frac{3}{2} e^{-t} \text{sh} 2t \).