Решение дифференциального уравнения y'' - 6y' + 9y = 0

Задание: Найдите общее решение уравнения \( y'' - 6y' + 9y = 0 \). Решение: Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. 1. Составим характеристическое уравнение, заменив \( y'' \) на \( k^2 \), \( y' \) на \( k \), а \( y \) на 1: \[ k^2 - 6k + 9 = 0 \] 2. Решим полученное квадратное уравнение. Заметим, что левая часть представляет собой полный квадрат двучлена: \[ (k - 3)^2 = 0 \] Отсюда получаем корень: \[ k_1 = k_2 = 3 \] Уравнение имеет один кратный корень (корень кратности 2). 3. В случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные действительные корни \( k_1 = k_2 = k \), общее решение дифференциального уравнения записывается в виде: \[ y = (C_1 + C_2 x) e^{kx} \] 4. Подставим наше значение \( k = 3 \): \[ y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \] Ответ: Третий вариант \( y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \).