Решение контрольной: Графики тригонометрических функций, 1 вариант

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа: Графики тригонометрических функций. 1 вариант 1. Найти область определения функции: 1) \(y = \sin \sqrt{2 - x^2}\) Решение: Для того чтобы функция \(y = \sin \sqrt{2 - x^2}\) была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть: \[2 - x^2 \ge 0\] \[x^2 \le 2\] \[-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}\] Область определения функции: \([-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\). Ответ: \([-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\). 2. Найти множество значений функции \(y = 2 \cos 2x + 1\). Решение: Известно, что для функции косинуса значения лежат в пределах от -1 до 1: \[-1 \le \cos(2x) \le 1\] Умножим все части неравенства на 2: \[-1 \cdot 2 \le 2 \cos(2x) \le 1 \cdot 2\] \[-2 \le 2 \cos(2x) \le 2\] Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства: \[-2 + 1 \le 2 \cos(2x) + 1 \le 2 + 1\] \[-1 \le 2 \cos(2x) + 1 \le 3\] Множество значений функции: \([-1; 3]\). Ответ: \([-1; 3]\). 3. Выяснить, является ли функция \(y = x^2 + \cos 3x\) чётной, нечётной или не является. Решение: Чтобы определить чётность или нечётность функции, нужно подставить \(-x\) вместо \(x\) и сравнить \(f(-x)\) с \(f(x)\) и \(-f(x)\). Дана функция \(f(x) = x^2 + \cos 3x\). Найдем \(f(-x)\): \[f(-x) = (-x)^2 + \cos(3(-x))\] \[f(-x) = x^2 + \cos(-3x)\] Так как функция косинуса является чётной (\(\cos(-a) = \cos a\)), то \(\cos(-3x) = \cos 3x\). Значит: \[f(-x) = x^2 + \cos 3x\] Мы видим, что \(f(-x) = f(x)\). Следовательно, функция является чётной. Ответ: Функция является чётной. 4. Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку: А) \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\); \([0; 3\pi]\) Решение: Общее решение уравнения \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет вид: \[x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Так как \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}\), то: \[x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Рассмотрим различные значения \(k\): При \(k = 0\): \[x = (-1)^0 \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi \cdot 0 = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 0 = -\frac{\pi}{4}\] Этот корень не принадлежит отрезку \([0; 3\pi]\). При \(k = 1\): \[x = (-1)^1 \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi \cdot 1 = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\] Этот корень принадлежит отрезку \([0; 3\pi]\). При \(k = 2\): \[x = (-1)^2 \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi \cdot 2 = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\] Этот корень принадлежит отрезку \([0; 3\pi]\). При \(k = 3\): \[x = (-1)^3 \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi \cdot 3 = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 3\pi = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4}\] Этот корень не принадлежит отрезку \([0; 3\pi]\), так как \(\frac{13\pi}{4} = 3.25\pi > 3\pi\). Корни, принадлежащие отрезку \([0; 3\pi]\), это \(\frac{5\pi}{4}\) и \(\frac{7\pi}{4}\). Ответ: \(\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\). Б) \(\cos x = \frac{1}{2}\); \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\) Решение: Общее решение уравнения \(\cos x = \frac{1}{2}\) имеет вид: \[x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Так как \(\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\), то: \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Рассмотрим различные значения \(k\): При \(k = 0\): \[x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}\] Этот корень принадлежит отрезку \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\), так как \(\frac{\pi}{3} \approx 1.047\) и \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\). \[x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3}\] Этот корень не принадлежит отрезку \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\). При \(k = 1\): \[x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{3}\] Этот корень не принадлежит отрезку \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\), так как \(\frac{7\pi}{3} \approx 7.33\) и \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\). \[x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{3}\) Этот корень не принадлежит отрезку \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\). Корень, принадлежащий отрезку \(\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]\), это \(\frac{\pi}{3}\). Ответ: \(\frac{\pi}{3}\). 5. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) \(\sin \frac{\pi}{9}\) и \(\cos \frac{\pi}{9}\) Решение: Используем формулу приведения \(\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\). Тогда \(\cos \frac{\pi}{9} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9}\right)\). Приведем к общему знаменателю: \[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{9} = \frac{9\pi}{18} - \frac{2\pi}{18} = \frac{7\pi}{18}\] Значит, \(\cos \frac{\pi}{9} = \sin \frac{7\pi}{18}\). Теперь нам нужно сравнить \(\sin \frac{\pi}{9}\) и \(\sin \frac{7\pi}{18}\). Переведем \(\frac{\pi}{9}\) к знаменателю 18: \(\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}\). Нам нужно сравнить \(\sin \frac{2\pi}{18}\) и \(\sin \frac{7\pi}{18}\). На интервале \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\) функция синуса возрастает. Так как \(0 < \frac{2\pi}{18} < \frac{7\pi}{18} < \frac{\pi}{2}\) (поскольку \(\frac{7\pi}{18} < \frac{9\pi}{18} = \frac{\pi}{2}\)), то: \[\sin \frac{2\pi}{18} < \sin \frac{7\pi}{18}\] Следовательно, \(\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}\). Ответ: \(\sin \frac{\pi}{9} < \cos \frac{\pi}{9}\). 2) \(\sin \frac{9\pi}{8}\) и \(\cos \frac{9\pi}{8}\) Решение: Используем формулу приведения \(\cos \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\). Тогда \(\cos \frac{9\pi}{8} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8}\right)\). Приведем к общему знаменателю: \[\frac{\pi}{2} - \frac{9\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} - \frac{9\pi}{8} = -\frac{5\pi}{8}\] Значит, \(\cos \frac{9\pi}{8} = \sin \left(-\frac{5\pi}{8}\right)\). Так как функция синуса нечётная, \(\sin \left(-\frac{5\pi}{8}\right) = -\sin \frac{5\pi}{8}\). Теперь нам нужно сравнить \(\sin \frac{9\pi}{8}\) и \(-\sin \frac{5\pi}{8}\). Рассмотрим \(\sin \frac{9\pi}{8}\). \(\frac{9\pi}{8} = \pi + \frac{\pi}{8}\). Используем формулу приведения \(\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha\). Значит, \(\sin \frac{9\pi}{8} = -\sin \frac{\pi}{8}\). Теперь нам нужно сравнить \(-\sin \frac{\pi}{8}\) и \(-\sin \frac{5\pi}{8}\). Умножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства: Сравнить \(\sin \frac{\pi}{8}\) и \(\sin \frac{5\pi}{8}\). На интервале \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\) функция синуса возрастает. \(\frac{\pi}{8}\) находится в первой четверти. \(\frac{5\pi}{8}\) находится во второй четверти. \(\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}\). Используем формулу приведения \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\). Значит, \(\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \left(\pi - \frac{5\pi}{8}\right) = \sin \frac{3\pi}{8}\). Теперь нам нужно сравнить \(\sin \frac{\pi}{8}\) и \(\sin \frac{3\pi}{8}\). Так как \(0 < \frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}\), и функция синуса возрастает на этом интервале, то: \[\sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{3\pi}{8}\] Возвращаясь к сравнению \(-\sin \frac{\pi}{8}\) и \(-\sin \frac{5\pi}{8}\): Так как \(\sin \frac{\pi}{8} < \sin \frac{5\pi}{8}\), то \(-\sin \frac{\pi}{8} > -\sin \frac{5\pi}{8}\). Следовательно, \(\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}\). Ответ: \(\sin \frac{9\pi}{8} > \cos \frac{9\pi}{8}\). 6. Найти все принадлежащие промежутку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\) корни уравнения: 1) \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) Решение: Общее решение уравнения \(\sin 2x = -\frac{1}{2}\) имеет вид: \[2x = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Так как \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\), то: \[2x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] Разделим все на 2: \[x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\] Рассмотрим различные значения \(k\): При \(k = -2\): \[x = (-1)^{-2} \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi (-2)}{2} = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) - \pi = -\frac{\pi}{12} - \frac{12\pi}{12} = -\frac{13\pi}{12}\] Проверим принадлежность отрезку \(\left[-\frac{3\pi}{2}; \pi\right]\). \(\frac{3\pi}{2} = \frac{18\pi}{12}\). \(\pi = \frac{12\pi}{12}\). \(\left[-\frac{18\pi}{12}; \frac{12\pi}{12}\right]\). \(-\frac{13\pi}{12}\) принадлежит отрезку. При \(k = -1\): \[x = (-1)^{-1} \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi (-1)}{2} = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{6\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}\] \(-\frac{5\pi}{12}\) принадлежит отрезку. При \(k = 0\): \[x = (-1)^0 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi \cdot 0}{2} = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) + 0 = -\frac{\pi}{12}\] \(-\frac{\pi}{12}\) принадлежит отрезку. При \(k = 1\): \[x = (-1)^1 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi \cdot 1}{2} = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\] \(\frac{7\pi}{12}\) принадлежит отрезку. При \(k = 2\): \[x = (-1)^2 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi \cdot 2}{2} = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \pi = -\frac{\pi}{12} + \frac{12\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}\] \(\frac{11\pi}{12}\) принадлежит отрезку. При \(k = 3\): \[x = (-1)^3 \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi \cdot 3}{2} = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{18\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}\] \(\frac{19\pi}{12}\) не принадлежит отрезку, так как \(\frac{19\