Решение уравнения y'' + 16y = e^(4x)cos(x)

Задание: Определить вид частного решения \( y^* \) уравнения \( y'' + 16y = e^{4x} \cos x \). Решение: Для нахождения вида частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами воспользуемся методом подбора по виду правой части. 1. Сначала найдем корни характеристического уравнения для однородной части \( y'' + 16y = 0 \): \[ k^2 + 16 = 0 \] \[ k^2 = -16 \] \[ k_{1,2} = \pm 4i \] 2. Проанализируем правую часть уравнения: \( f(x) = e^{4x} \cos x \). Правая часть имеет специальный вид \( e^{\alpha x} (P_n(x) \cos \beta x + Q_m(x) \sin \beta x) \), где: \( \alpha = 4 \), \( \beta = 1 \). 3. Составим контрольное число \( \gamma = \alpha + i\beta \): \[ \gamma = 4 + i \] 4. Проверим, является ли контрольное число \( \gamma \) корнем характеристического уравнения. Наши корни \( k_{1,2} = \pm 4i \). Очевидно, что \( 4 + i \neq \pm 4i \). Следовательно, резонанса нет (число \( \gamma \) не совпадает с корнями характеристического уравнения). 5. Так как резонанса нет, частное решение \( y^* \) ищется в виде, полностью повторяющем структуру правой части с неопределенными коэффициентами: \[ y^* = e^{4x} (A \cos x + B \sin x) \] Множитель \( x^k \) (где \( k \) — кратность корня) в данном случае равен \( x^0 = 1 \), так как совпадений с корнями нет. Ответ: Третий вариант \( y^* = e^{4x} \cdot (A \cos x + B \sin x) \).