Разложение функции e^(x-2) в ряд по степеням (x - 1)

Задание: Разложить функцию \( f(x) = e^{x-2} \) в ряд по степеням \( (x - 1) \). Решение: Для решения задачи воспользуемся известным разложением экспоненты в ряд Маклорена: \[ e^t = 1 + \frac{t}{1!} + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \dots + \frac{t^n}{n!} + \dots \] Преобразуем показатель степени нашей функции так, чтобы в нем выделилось выражение \( (x - 1) \): \[ x - 2 = (x - 1) - 1 \] Тогда исходную функцию можно переписать в виде: \[ e^{x-2} = e^{(x-1) - 1} = e^{-1} \cdot e^{x-1} = \frac{1}{e} \cdot e^{x-1} \] Теперь применим формулу разложения для \( e^t \), где \( t = x - 1 \): \[ e^{x-1} = 1 + \frac{x-1}{1!} + \frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{(x-1)^3}{3!} + \frac{(x-1)^4}{4!} + \dots \] Умножим полученный ряд на коэффициент \( \frac{1}{e} \): \[ e^{x-2} = \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{x-1}{1!} + \frac{(x-1)^2}{2!} + \frac{(x-1)^3}{3!} + \frac{(x-1)^4}{4!} + \dots \right) \] Распределим \( \frac{1}{e} \) по слагаемым: \[ e^{x-2} = \frac{1}{e} + \frac{x-1}{e \cdot 1!} + \frac{(x-1)^2}{e \cdot 2!} + \frac{(x-1)^3}{e \cdot 3!} + \frac{(x-1)^4}{e \cdot 4!} + \dots \] Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он полностью совпадает со вторым вариантом. Ответ: Второй вариант. \[ \frac{1}{e} + \frac{(x-1)}{e} + \frac{(x-1)^2}{e \cdot 2!} + \frac{(x-1)^3}{e \cdot 3!} + \frac{(x-1)^4}{e \cdot 4!} + \dots \]