Решение задачи на сходимость знакочередующихся рядов

Для решения данной задачи необходимо проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда (стремится ли общий член ряда к нулю) и достаточных признаков для знакочередующихся рядов (признак Лейбница). Рассмотрим каждый ряд по порядку: 1) \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n^n}{(n+1)^n} \] Проверим предел общего члена ряда по модулю: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \right)^n = \frac{1}{e} \] Так как предел не равен нулю (\( \frac{1}{e} \neq 0 \)), необходимый признак сходимости не выполняется. Ответ: ряд расходится. 2) \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n} \] Преобразуем общий член: \[ a_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n} \] Найдем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n} = e \cdot 0 = 0 \] Предел равен нулю, последовательность убывает. По признаку Лейбница ряд сходится. Проверим абсолютную сходимость: ряд из модулей ведет себя как \( \frac{e}{n} \), что является расходящимся гармоническим рядом. Ответ: ряд сходится условно. 3) \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{n^n}{(n-1)^n \cdot n!} \] Здесь присутствует факториал в знаменателе. Факториал растет значительно быстрее, чем степенные функции. При \( n \to \infty \) выражение \( \left( \frac{n}{n-1} \right)^n \) стремится к \( e \), а \( \frac{1}{n!} \) стремится к нулю очень быстро. Ряд из модулей будет сходиться (можно проверить по признаку Даламбера). Ответ: ряд сходится. 4) \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(n-1)^n \cdot n}{n^n} \] Преобразуем общий член: \[ a_n = \left( \frac{n-1}{n} \right)^n \cdot n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \cdot n \] Найдем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n \cdot n = e^{-1} \cdot \infty = \infty \] Предел не равен нулю, ряд расходится. Ответ: ряд расходится. 5) \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(n+1)^n}{n^n} \] Найдем предел общего члена по модулю: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \] Так как предел \( e \neq 0 \), необходимый признак сходимости не выполняется. Ответ: ряд расходится.