Решение задачи: Геометрический смысл производной

Для решения задачи о геометрическом смысле производной функции комплексного переменного воспользуемся тем, что коэффициент растяжения \( k \) равен модулю производной в данной точке, а угол поворота \( \alpha \) равен аргументу производной в этой точке. 1. Найдем производную функции \( f(z) = \frac{z}{z+i} \): Используем формулу производной частного: \[ f'(z) = \frac{(z)'(z+i) - z(z+i)'}{(z+i)^2} = \frac{1 \cdot (z+i) - z \cdot 1}{(z+i)^2} = \frac{z + i - z}{(z+i)^2} = \frac{i}{(z+i)^2} \] 2. Вычислим значение производной в точке \( z_0 = 2 + i \): Подставим \( z_0 \) в выражение для \( f'(z) \): \[ f'(z_0) = \frac{i}{(2 + i + i)^2} = \frac{i}{(2 + 2i)^2} \] Раскроем квадрат в знаменателе: \[ (2 + 2i)^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot 2i + (2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 8i \] Следовательно: \[ f'(z_0) = \frac{i}{8i} = \frac{1}{8} \] 3. Найдем коэффициент растяжения \( k \): Коэффициент растяжения — это модуль производной: \[ k = |f'(z_0)| = |\frac{1}{8}| = \frac{1}{8} \] 4. Найдем угол поворота \( \alpha \): Угол поворота — это аргумент производной. Так как \( f'(z_0) = \frac{1}{8} \) — это положительное действительное число, оно лежит на положительной части действительной оси комплексной плоскости. \[ \alpha = Arg(f'(z_0)) = Arg(\frac{1}{8}) = 0^\circ \] Ответ: \( k = 1/8 \) \( \alpha = 0 \)