Решение Интеграла по Комплексной Переменной с Единичной Окружностью

Для решения данного интеграла воспользуемся основной теоремой о вычетах или интегральной формулой Коши. Задан интеграл: \[ \int_{(L)} \frac{12 \cdot e^z}{z(z - 13)(z - 10)(z - 11)} dz \] где \( L \) — единичная окружность с центром в начале координат (\( |z| = 1 \)). 1. Найдем особые точки функции под интегралом: Знаменатель обращается в нуль в точках: \[ z_1 = 0, \quad z_2 = 13, \quad z_3 = 10, \quad z_4 = 11 \] 2. Определим, какие из этих точек лежат внутри контура \( L \): Контур \( L \) — это окружность радиуса 1. Точка \( z_1 = 0 \) находится внутри контура (\( |0| < 1 \)). Точки \( z_2 = 13 \), \( z_3 = 10 \), \( z_4 = 11 \) находятся вне контура (\( 13 > 1, 10 > 1, 11 > 1 \)). 3. Согласно теореме о вычетах, значение интеграла равно: \[ I = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, z_1) \] где \( f(z) = \frac{12 \cdot e^z}{z(z - 13)(z - 10)(z - 11)} \). 4. Вычислим вычет в точке \( z_1 = 0 \) (это простой полюс): \[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \cdot \frac{12 \cdot e^z}{z(z - 13)(z - 10)(z - 11)} \] \[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} \frac{12 \cdot e^z}{(z - 13)(z - 10)(z - 11)} \] Подставим \( z = 0 \): \[ \text{Res}(f, 0) = \frac{12 \cdot e^0}{(0 - 13)(0 - 10)(0 - 11)} = \frac{12 \cdot 1}{(-13) \cdot (-10) \cdot (-11)} \] \[ \text{Res}(f, 0) = \frac{12}{-1430} = -\frac{6}{715} \] 5. Находим значение интеграла: \[ I = 2\pi i \cdot \left( -\frac{6}{715} \right) = -\frac{12\pi}{715} i \] Так как в условии просят записать ответ в виде комплексного числа \( x + yi \): \[ x = 0, \quad y = -\frac{12\pi}{715} \] Ответ: \[ 0 - \frac{12\pi}{715}i \]