Решение интеграла по линии в комплексной плоскости

Для решения данного интеграла по линии в комплексной плоскости необходимо параметризовать кривую \( L \). 1. Параметризация линии \( L \): По условию \( \text{Re } z = 4 \) и \( -4 \le \text{Im } z \le -3 \). Пусть \( \text{Im } z = y \), тогда комплексное число \( z \) на этой линии имеет вид: \[ z = 4 + iy, \quad \text{где } y \in [-4, -3] \] Отсюда находим дифференциал \( dz \): \[ dz = d(4 + iy) = i \, dy \] Также из определения \( z \) имеем: \[ \text{Im } z = y \] 2. Подстановка в интеграл: Заменим \( z \), \( \text{Im } z \) и \( dz \) в исходном выражении: \[ \int_{(L)} z \cdot \text{Im } z \, dz = \int_{-4}^{-3} (4 + iy) \cdot y \cdot (i \, dy) \] \[ = \int_{-4}^{-3} (4y + iy^2) \cdot i \, dy = \int_{-4}^{-3} (4yi + i^2 y^2) \, dy \] Так как \( i^2 = -1 \), получаем: \[ = \int_{-4}^{-3} (-y^2 + 4yi) \, dy \] 3. Вычисление интеграла: Разделим на действительную и мнимую части: \[ I = \int_{-4}^{-3} -y^2 \, dy + i \int_{-4}^{-3} 4y \, dy \] Вычисляем первую часть: \[ \int_{-4}^{-3} -y^2 \, dy = \left[ -\frac{y^3}{3} \right]_{-4}^{-3} = -\frac{(-3)^3}{3} - \left( -\frac{(-4)^3}{3} \right) = -\frac{-27}{3} - \frac{64}{3} = 9 - \frac{64}{3} = \frac{27 - 64}{3} = -\frac{37}{3} \] Вычисляем вторую часть: \[ \int_{-4}^{-3} 4y \, dy = \left[ 2y^2 \right]_{-4}^{-3} = 2(-3)^2 - 2(-4)^2 = 2(9) - 2(16) = 18 - 32 = -14 \] 4. Итоговый результат: Собираем части вместе: \[ I = -\frac{37}{3} - 14i \] Ответ: \[ -37/3 - 14i \]