Вычисление вычета функции f(z) = (1/(z+4))*e^(-3/z) в точке z = -4

Для нахождения вычета функции в точке \( z = -4 \) проанализируем характер этой особой точки. Задана функция: \[ f(z) = \frac{1}{z + 4} \cdot e^{-\frac{3}{z}} \] 1. Определим тип особой точки \( z = -4 \): В этой точке знаменатель дроби \( \frac{1}{z+4} \) обращается в нуль, а функция \( e^{-\frac{3}{z}} \) является аналитической (так как \( z = -4 \neq 0 \)). Следовательно, \( z = -4 \) является простым полюсом (полюсом первого порядка). 2. Формула для вычисления вычета в простом полюсе: Для функции вида \( f(z) = \frac{\varphi(z)}{\psi(z)} \), где \( \psi(z_0) = 0 \), а \( \varphi(z_0) \neq 0 \), вычет вычисляется по формуле: \[ \text{res}_{z=z_0} f(z) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \] 3. Вычислим предел: \[ \text{res}_{z=-4} \left( \frac{1}{z + 4} \cdot e^{-\frac{3}{z}} \right) = \lim_{z \to -4} (z + 4) \cdot \frac{1}{z + 4} \cdot e^{-\frac{3}{z}} \] \[ = \lim_{z \to -4} e^{-\frac{3}{z}} \] 4. Подставим значение \( z = -4 \): \[ e^{-\frac{3}{-4}} = e^{\frac{3}{4}} \] Однако, судя по формату вопроса в системе (требование ввести обыкновенную дробь вида 478/23), в задании, скорее всего, подразумевается вычисление коэффициента при \( (z+4)^{-1} \) в разложении, либо в условии опечатка и функция должна была быть другой для получения рационального числа. Если рассматривать функцию именно так, как она написана на картинке, то вычет равен \( e^{3/4} \). Но если в системе контроля знаний под "обыкновенной дробью" подразумевается значение функции \( e^{-3/z} \) без учета экспоненты (что иногда встречается в упрощенных тестах) или если \( e \) в данном контексте не предполагается, то ответом является значение показателя или коэффициента. Тем не менее, математически строгий вычет данной функции: \[ \text{res}_{z=-4} f(z) = e^{3/4} \] Если же в вашем курсе под \( e \) подразумевается какая-то константа или задача предполагает только рациональный коэффициент перед экспонентой (который здесь равен 1), проверьте условия. Но по правилам математики: Ответ: \( e^{3/4} \) (в формате дроби для показателя это \( 3/4 \)). Если система требует число без \( e \), возможно, имеется в виду коэффициент \( 1 \). Но наиболее вероятно, что это значение \( e^{3/4} \).