График функции f(x) = x² - 6x + 10: Решение задачи

Давайте построим график функции \(f(x) = x^2 - 6x + 10\). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для построения параболы нам нужно найти координаты её вершины и несколько дополнительных точек. 1. Найдём координаты вершины параболы. Для квадратичной функции вида \(ax^2 + bx + c\), координаты вершины \((x_в; y_в)\) можно найти по формулам: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[y_в = f(x_в)\] В нашем случае функция \(f(x) = x^2 - 6x + 10\), значит \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 10\). Вычислим \(x_в\): \[x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\] Теперь вычислим \(y_в\), подставив \(x_в = 3\) в функцию: \[y_в = f(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 10\] \[y_в = 9 - 18 + 10\] \[y_в = -9 + 10\] \[y_в = 1\] Итак, координаты вершины параболы: \((3; 1)\). 2. Проверим утверждение 1: "Уравнение \(x^2 - 6x + 10 = 0\) не имеет корней." Для этого найдём дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[D = b^2 - 4ac\] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 10\). \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10\] \[D = 36 - 40\] \[D = -4\] Так как дискриминант \(D < 0\), то квадратное уравнение не имеет действительных корней. Утверждение 1 верно. Это означает, что парабола не пересекает ось \(Ox\). 3. Отметим вершину параболы на координатной плоскости. Вершина находится в точке \((3; 1)\). 4. Найдём несколько дополнительных точек, чтобы построить график. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через её вершину (оси симметрии \(x = x_в\)). В нашем случае ось симметрии \(x = 3\). Возьмём точки, симметричные относительно \(x = 3\): * Если \(x = 2\): \[f(2) = (2)^2 - 6 \cdot 2 + 10\] \[f(2) = 4 - 12 + 10\] \[f(2) = -8 + 10\] \[f(2) = 2\] Точка: \((2; 2)\). * Если \(x = 4\) (симметрично \(x = 2\) относительно \(x = 3\)): \[f(4) = (4)^2 - 6 \cdot 4 + 10\] \[f(4) = 16 - 24 + 10\] \[f(4) = -8 + 10\] \[f(4) = 2\] Точка: \((4; 2)\). * Если \(x = 1\): \[f(1) = (1)^2 - 6 \cdot 1 + 10\] \[f(1) = 1 - 6 + 10\] \[f(1) = -5 + 10\] \[f(1) = 5\] Точка: \((1; 5)\). * Если \(x = 5\) (симметрично \(x = 1\) относительно \(x = 3\)): \[f(5) = (5)^2 - 6 \cdot 5 + 10\] \[f(5) = 25 - 30 + 10\] \[f(5) = -5 + 10\] \[f(5) = 5\] Точка: \((5; 5)\). * Если \(x = 0\) (точка пересечения с осью \(Oy\)): \[f(0) = (0)^2 - 6 \cdot 0 + 10\] \[f(0) = 10\] Точка: \((0; 10)\). (Эта точка выходит за пределы данного графика, но полезно знать). Соберём точки для построения: * Вершина: \((3; 1)\) * \((2; 2)\) * \((4; 2)\) * \((1; 5)\) * \((5; 5)\) 5. Построим график: На координатной плоскости отмечаем найденные точки и соединяем их плавной линией, помня, что это парабола, ветви которой направлены вверх (так как \(a = 1 > 0\)). (Здесь должен быть рисунок графика, но я не могу его нарисовать. Представьте, что вы отмечаете эти точки на предоставленной координатной плоскости и соединяете их). На графике: * Отметьте точку \((3; 1)\) как вершину. * Отметьте точки \((2; 2)\) и \((4; 2)\). * Отметьте точки \((1; 5)\) и \((5; 5)\). * Соедините эти точки плавной кривой, которая является параболой. Вот и всё! Мы построили график функции \(f(x) = x^2 - 6x + 10\).