Решение: Исследование ряда (2n+4)/(3n+7)^2n на сходимость

Для исследования ряда на сходимость воспользуемся радикальным признаком Коши. Дан ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2n+4}{3n+7} \right)^{2n} \] 1. Согласно радикальному признаку Коши, необходимо вычислить предел \( l \): \[ l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \] где \( a_n = \left( \frac{2n+4}{3n+7} \right)^{2n} \). 2. Подставим выражение общего члена в формулу предела: \[ l = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2n+4}{3n+7} \right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+4}{3n+7} \right)^{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n+4}{3n+7} \right)^2 \] 3. Вычислим предел дроби внутри скобок: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n+4}{3n+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(2 + \frac{4}{n})}{n(3 + \frac{7}{n})} = \frac{2}{3} \] 4. Теперь возведем полученное значение в квадрат: \[ l = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \] 5. Сделаем вывод: Так как \( l = \frac{4}{9} < 1 \), то согласно радикальному признаку Коши, данный числовой ряд сходится. Ответ для ввода в поля: \( l = 4/9 \) Ряд: convergent