Интервал сходимости степенного ряда ∑ xⁿ/n: Решение

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}\) выполним следующие шаги: 1. Найдем радиус сходимости \(R\). Воспользуемся формулой Даламбера для коэффициентов \(a_n = \frac{1}{n}\): \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1 \] Следовательно, ряд точно сходится при \(|x| < 1\), то есть на интервале \((-1, 1)\). 2. Исследуем сходимость на концах интервала. При \(x = 1\): Подставим \(x = 1\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\). Это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Значит, точка \(x = 1\) не входит в интервал сходимости (скобка круглая). При \(x = -1\): Подставим \(x = -1\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\). Это знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница: 1) \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\); 2) Последовательность \(\frac{1}{n}\) монотонно убывает. Оба условия выполняются, значит, ряд сходится. Точка \(x = -1\) входит в интервал сходимости (скобка квадратная). 3. Запишем итоговый интервал: Объединяя результаты, получаем \(x \in [-1, 1)\). Ответ (вводить без пробелов): \[ [-1,1) \]