Разложение функции y = 3πx в ряд Фурье по синусам

Для разложения функции в ряд Фурье по синусам на интервале \([0, l]\) используется формула для коэффициентов \(b_n\). В данной задаче \(y = 3\pi x\) и \(l = 1\). 1. Формула коэффициента разложения по синусам: \[ b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{l}\right) dx \] Подставим наши значения (\(l=1\), \(f(x)=3\pi x\)): \[ b_n = \frac{2}{1} \int_{0}^{1} 3\pi x \sin(n\pi x) dx = 6\pi \int_{0}^{1} x \sin(n\pi x) dx \] 2. Вычислим интеграл методом интегрирования по частям: Пусть \(u = x\), тогда \(du = dx\). Пусть \(dv = \sin(n\pi x) dx\), тогда \(v = -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\). \[ \int x \sin(n\pi x) dx = -\frac{x \cos(n\pi x)}{n\pi} - \int -\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi} dx = -\frac{x \cos(n\pi x)}{n\pi} + \frac{\sin(n\pi x)}{(n\pi)^2} \] 3. Подставим пределы интегрирования от 0 до 1: \[ \left[ -\frac{x \cos(n\pi x)}{n\pi} + \frac{\sin(n\pi x)}{n^2\pi^2} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1 \cdot \cos(n\pi)}{n\pi} + \frac{\sin(n\pi)}{n^2\pi^2} \right) - (0 + 0) \] Так как \(\sin(n\pi) = 0\), а \(\cos(n\pi) = (-1)^n\), получаем: \[ -\frac{(-1)^n}{n\pi} \] 4. Находим итоговый коэффициент \(b_n\): \[ b_n = 6\pi \cdot \left( -\frac{(-1)^n}{n\pi} \right) = -\frac{6 \cdot (-1)^n}{n} = \frac{6 \cdot (-1)^{n+1}}{n} \] Согласно требованию системы (использовать ^ для степени и / для деления), запишем коэффициент для ввода. Ответ: \[ 6*(-1)^(n+1)/n \]