Задача 6.
В окружности с центром в точке \(O\) отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры. Угол \(AOD\) равен \(38^\circ\). Найдите угол \(ACB\). Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Рассмотрим углы \(AOD\) и \(BOC\).
Углы \(AOD\) и \(BOC\) являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением двух прямых \(AC\) и \(BD\).
Вертикальные углы равны.
Следовательно, \(\angle BOC = \angle AOD = 38^\circ\).
2. Рассмотрим треугольник \(BOC\).
Отрезки \(OB\) и \(OC\) являются радиусами окружности, так как \(O\) — центр окружности, а \(B\) и \(C\) лежат на окружности.
Радиусы одной и той же окружности равны, то есть \(OB = OC\).
Значит, треугольник \(BOC\) является равнобедренным с основанием \(BC\).
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Углы при основании \(BC\) — это \(\angle OBC\) и \(\angle OCB\).
Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB\).
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
Для треугольника \(BOC\): \(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\).
Подставим известные значения:
\(38^\circ + \angle OCB + \angle OCB = 180^\circ\)
\(38^\circ + 2 \cdot \angle OCB = 180^\circ\)
\(2 \cdot \angle OCB = 180^\circ - 38^\circ\)
\(2 \cdot \angle OCB = 142^\circ\)
\(\angle OCB = \frac{142^\circ}{2}\)
\(\angle OCB = 71^\circ\)
4. Угол \(ACB\) — это тот же угол, что и \(\angle OCB\), так как точка \(O\) лежит на отрезке \(AC\).
Значит, \(\angle ACB = \angle OCB = 71^\circ\).
Ответ: \(71\).