Решение задачи про моторную лодку

Решение текстовой задачи про моторную лодку. Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки по течению равна \(x + 1\) км/ч, а скорость против течения равна \(x - 1\) км/ч. Расстояние в одну сторону составляет 120 км. Время, затраченное на путь против течения: \[t_1 = \frac{120}{x - 1}\] Время, затраченное на путь по течению (обратный путь): \[t_2 = \frac{120}{x + 1}\] По условию задачи на обратный путь лодка затратила на 2 часа меньше. Составим уравнение: \[\frac{120}{x - 1} - \frac{120}{x + 1} = 2\] Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: \[\frac{60}{x - 1} - \frac{60}{x + 1} = 1\] Приведем к общему знаменателю \( (x - 1)(x + 1) \), учитывая, что \(x > 1\): \[60(x + 1) - 60(x - 1) = (x - 1)(x + 1)\] \[60x + 60 - 60x + 60 = x^2 - 1\] \[120 = x^2 - 1\] \[x^2 = 121\] \[x = 11\] или \[x = -11\] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только \(x = 11\). Ответ: собственная скорость лодки 11 км/ч. Решение уравнений из верхней части снимка: а) \(\frac{x^2}{x + 3} = \frac{5x - 6}{x + 3}\) ОДЗ: \(x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\). Так как знаменатели равны, приравниваем числители: \[x^2 = 5x - 6\] \[x^2 - 5x + 6 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 2, x_2 = 3\] Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: 2; 3. б) \(\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 36} = \frac{5}{x - 6}\) ОДЗ: \(x^2 - 36 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6, x \neq -6\). Разложим знаменатель первой дроби: \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\). Умножим все уравнение на \((x - 6)(x + 6)\): \[x^2 + 9x + 18 = 5(x + 6)\] \[x^2 + 9x + 18 = 5x + 30\] \[x^2 + 4x - 12 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = -6, x_2 = 2\] Корень \(x = -6\) не подходит по ОДЗ. Ответ: 2.