Решение совокупности неравенств (3-x)/(9x-x^2) ≤ 0 и x^2 - 25 > 0

Задание 2. Решите совокупность неравенств: \[ \left[ \begin{array}{l} \frac{3-x}{9x-x^2} \leq 0 \\ x^2 - 25 > 0 \end{array} \right. \] Решение: 1) Решим первое неравенство совокупности: \[ \frac{3-x}{9x-x^2} \leq 0 \] Разложим знаменатель на множители: \[ \frac{3-x}{x(9-x)} \leq 0 \] Умножим числитель и знаменатель на \(-1\), чтобы коэффициенты при \(x\) стали положительными (при этом знак неравенства не меняется, так как мы меняем знаки дважды: в числителе и в знаменателе): \[ \frac{x-3}{x(x-9)} \leq 0 \] Найдем критические точки: \(x = 3\) (закрашенная), \(x = 0\) и \(x = 9\) (выколотые, так как знаменатель не равен нулю). Методом интервалов определим знаки на промежутках: - При \(x \in (-\infty; 0)\) дробь отрицательна. - При \(x \in (0; 3]\) дробь положительна. - При \(x \in [3; 9)\) дробь отрицательна. - При \(x \in (9; +\infty)\) дробь положительна. Нам нужны промежутки, где выражение \(\leq 0\): \[ x \in (-\infty; 0) \cup [3; 9) \] 2) Решим второе неравенство совокупности: \[ x^2 - 25 > 0 \] \[ (x-5)(x+5) > 0 \] Критические точки: \(x = 5\) и \(x = -5\). Методом интервалов получаем: \[ x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty) \] 3) Так как это совокупность (знак \([ \)), нам необходимо объединить полученные решения: \[ x \in (-\infty; 0) \cup [3; 9) \cup (-\infty; -5) \cup (5; +\infty) \] При объединении промежутков получаем итоговый ответ: \[ x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) \] Ответ: \( (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) \) Задание 3. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную системой неравенств: \[ \begin{cases} x + 2y \geq -1 \\ 2x - y \leq 2 \end{cases} \] Решение: Для построения области выразим \(y\) из каждого неравенства: 1) \(2y \geq -x - 1 \Rightarrow y \geq -0,5x - 0,5\) Границей является прямая \(y = -0,5x - 0,5\). Проходит через точки \((1; -1)\) и \((-1; 0)\). Так как знак \(\geq\), решением является полуплоскость выше прямой (включая саму прямую). 2) \(-y \leq -2x + 2 \Rightarrow y \geq 2x - 2\) Границей является прямая \(y = 2x - 2\). Проходит через точки \((0; -2)\) и \((1; 0)\). Так как знак \(\geq\), решением является полуплоскость выше прямой (включая саму прямую). Итоговая фигура — это область пересечения двух указанных полуплоскостей (неограниченный угол на координатной плоскости). При переписывании в тетрадь следует начертить оси \(X\) и \(Y\), провести обе прямые и заштриховать область, которая находится одновременно выше обеих линий.