Решение задачи №255: вычисление cos α и tg α

Решение задачи №255 (пункты 2-6) для тетради: 2) Дано: \(\sin \alpha = 0,8\); \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (II четверть). Найти: \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\). Решение: Из основного тригонометрического тождества \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) находим: \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \] Так как \(\alpha\) во II четверти, то \(\cos \alpha < 0\): \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 \] Находим тангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \] Ответ: \(\cos \alpha = -0,6\); \(\text{tg} \alpha = -1\frac{1}{3}\). 3) Дано: \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\); \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (II четверть). Найти: \(\sin \alpha\), \(\text{tg} \alpha\), \(\text{ctg} \alpha\). Решение: Так как \(\alpha\) во II четверти, то \(\sin \alpha > 0\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0,8 \] Находим тангенс и котангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{4}{5} : \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \] \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = -\frac{3}{4} = -0,75 \] Ответ: \(\sin \alpha = 0,8\); \(\text{tg} \alpha = -1\frac{1}{3}\); \(\text{ctg} \alpha = -0,75\). 4) Дано: \(\sin \alpha = -\frac{2}{5}\); \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (III четверть). Найти: \(\cos \alpha\), \(\text{tg} \alpha\), \(\text{ctg} \alpha\). Решение: Так как \(\alpha\) в III четверти, то \(\cos \alpha < 0\): \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{4}{25}} = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5} \] Находим тангенс и котангенс: \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{2}{5} : \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{2\sqrt{21}}{21} \] \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{\sqrt{21}}{2} \] Ответ: \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{21}}{5}\); \(\text{tg} \alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21}\); \(\text{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{21}}{2}\). 5) Дано: \(\text{tg} \alpha = \frac{15}{8}\); \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (III четверть). Найти: \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\). Решение: Используем формулу \(1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\): \[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(\frac{15}{8}\right)^2 = 1 + \frac{225}{64} = \frac{289}{64} \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{64}{289} \] Так как \(\alpha\) в III четверти, \(\cos \alpha < 0\): \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17} \] Находим синус: \[ \sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{15}{17} \] Ответ: \(\sin \alpha = -\frac{15}{17}\); \(\cos \alpha = -\frac{8}{17}\). 6) Дано: \(\text{ctg} \alpha = -3\); \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (IV четверть). Найти: \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\). Решение: Используем формулу \(1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\): \[ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-3)^2 = 10 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{1}{10} \] Так как \(\alpha\) в IV четверти, \(\sin \alpha < 0\): \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \] Находим косинус: \[ \cos \alpha = \text{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = -3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) = \frac{3\sqrt{10}}{10} \] Ответ: \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}\); \(\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\).