Существует ли треугольник? Решение задач

Ниже представлены решения задач с карточки. Основное правило для всех задач: в треугольнике любая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон и больше их разности. Существует ли треугольник ABC? Задача 1. Дано: \(AB = 3\), \(BC = 5\), \(AC = 6\). Проверка: \(3 + 5 > 6\) (\(8 > 6\)) — верно. Ответ: Да, существует. Задача 2. Дано: \(AB = 4\), \(BC = 5\), \(AC = 10\). Проверка: \(4 + 5 > 10\) (\(9 > 10\)) — ложно. Ответ: Нет, не существует. Задача 3. Дано: \(AB = 10\), \(BC = 10\), \(AC = 7\). Проверка: \(10 + 7 > 10\) (\(17 > 10\)) — верно. Ответ: Да, существует. В каких пределах меняется x? Задача 4. Дано: стороны 4 и 5. По неравенству треугольника: \(5 - 4 < x < 5 + 4\). Ответ: \(1 < x < 9\). Задача 5. Рассмотрим треугольник ABD. Точка D лежит на стороне BC, значит \(BD < BC\). Из чертежа видно, что \(BD = 8\). В треугольнике ABD: \(|7 - 8| < x < 7 + 8\). Ответ: \(1 < x < 15\). Задача 6. Дано: равнобедренный треугольник со боковыми сторонами \(a\). По неравенству треугольника: \(a - a < x < a + a\). Ответ: \(0 < x < 2a\). Задача 7. Дано: боковые стороны \(x\), основание \(a\). Должно выполняться: \(x + x > a\), то есть \(2x > a\), откуда \(x > a/2\). Также \(x\) может быть сколь угодно большим. Ответ: \(x > a/2\). Задача 8. Рассмотрим треугольник BDC. \(BC = 4\), \(BD = AD\) (по чертежу). Но так как D на стороне AB, то \(BD < AB\). В треугольнике BDC: \(|BD - 4| < x < BD + 4\). Без точного значения AB или BD можно сказать, что \(x\) ограничен суммой сторон. Если рассматривать треугольник ABC со сторонами \(AB\), \(BC=4\), \(AC=6\), то \(6-4 < AB < 6+4\), т.е. \(2 < AB < 10\). Ответ: \(x\) зависит от положения точки D, в общем случае для треугольника \(|BD-4| < x < BD+4\). Задача 9. Дано: стороны 0,6 и 1,6. \(x \in N\) (натуральное число). Проверка: \(1,6 - 0,6 < x < 1,6 + 0,6\), то есть \(1 < x < 2,2\). Единственное натуральное число в этом интервале — 2. Ответ: \(x = 2\). Дано: треугольник ABC — равнобедренный. Найти AB. Задача 10. Дано: \(BC = 7\), \(AC = 8\). Если \(AB = BC\), то \(AB = 7\). Проверка: \(7+7 > 8\) (верно). Если \(AB = AC\), то \(AB = 8\). Проверка: \(8+8 > 7\) (верно). Ответ: 7 или 8. Задача 11. Дано: \(AC = 7\), \(BC = 3\). Если \(AB = 3\), то \(3 + 3 > 7\) (\(6 > 7\)) — ложно. Если \(AB = 7\), то \(7 + 3 > 7\) (\(10 > 7\)) — верно. Ответ: \(AB = 7\). Задача 12. Дано: \(AB = x\), \(BC = 4\), \(AC = 8\). Так как треугольник равнобедренный, \(x\) должен быть равен либо 4, либо 8. Если \(x = 4\), то \(4 + 4 > 8\) (\(8 > 8\)) — ложно. Если \(x = 8\), то \(8 + 4 > 8\) (\(12 > 8\)) — верно. Ответ: \(AB = 8\).