График функции f(x) = x^2 + 6x + 5: Решение

Давайте построим график квадратичной функции \(f(x) = x^2 + 6x + 5\). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для построения параболы нам нужно найти её нули (точки пересечения с осью \(Ox\)) и координаты вершины. 1. Найдём нули функции (корни уравнения \(x^2 + 6x + 5 = 0\)). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] где \(D = b^2 - 4ac\). В нашем случае \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 5\). Вычислим дискриминант \(D\): \[D = (6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5\] \[D = 36 - 20\] \[D = 16\] Теперь найдём корни: \[x_1 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] \[x_2 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Итак, нули функции (точки пересечения с осью \(Ox\)) это \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\). 2. Найдём координаты вершины параболы \((x_в; y_в)\). \[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[y_в = f(x_в)\] Вычислим \(x_в\): \[x_в = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3\] Теперь вычислим \(y_в\), подставив \(x_в = -3\) в функцию: \[y_в = f(-3) = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5\] \[y_в = 9 - 18 + 5\] \[y_в = -9 + 5\] \[y_в = -4\] Итак, координаты вершины параболы: \((-3; -4)\). 3. Найдём точку пересечения с осью \(Oy\). Для этого подставим \(x = 0\) в функцию: \[f(0) = (0)^2 + 6 \cdot 0 + 5\] \[f(0) = 5\] Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 5)\). 4. Соберём точки для построения: * Нули функции: \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\) * Вершина: \((-3; -4)\) * Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; 5)\) Также можно найти симметричную точку для \((0; 5)\) относительно оси симметрии \(x = -3\). Расстояние от \(x = 0\) до \(x = -3\) равно 3. Значит, симметричная точка будет на расстоянии 3 от \(x = -3\) влево, то есть \(x = -3 - 3 = -6\). \[f(-6) = (-6)^2 + 6 \cdot (-6) + 5\] \[f(-6) = 36 - 36 + 5\] \[f(-6) = 5\] Симметричная точка: \((-6; 5)\). (Эта точка выходит за пределы данного графика, но полезно знать). 5. Построим график: На координатной плоскости отмечаем найденные точки и соединяем их плавной линией, помня, что это парабола, ветви которой направлены вверх (так как \(a = 1 > 0\)). (Здесь должен быть рисунок графика, но я не могу его нарисовать. Представьте, что вы отмечаете эти точки на предоставленной координатной плоскости и соединяете их). На графике: * Отметьте точки \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\) на оси \(Ox\). * Отметьте точку \((-3; -4)\) как вершину. * Отметьте точку \((0; 5)\) на оси \(Oy\). * Соедините эти точки плавной кривой, которая является параболой. Вот и всё! Мы построили график функции \(f(x) = x^2 + 6x + 5\).