Решение задачи: Координаты точки на единичной окружности

Задания для самостоятельного выполнения Задание 1. Координаты точки \( P_{\alpha} \) на единичной окружности определяются как \( (\cos \alpha; \sin \alpha) \). 1) Угол \( \alpha = 5\pi \). Так как период синуса и косинуса равен \( 2\pi \), то: \[ \cos(5\pi) = \cos(5\pi - 4\pi) = \cos(\pi) = -1 \] \[ \sin(5\pi) = \sin(5\pi - 4\pi) = \sin(\pi) = 0 \] Ответ: \((-1; 0)\). 2) Угол \( \alpha = \frac{9\pi}{2} \). Выделим целое число оборотов: \( \frac{9\pi}{2} = 4\pi + \frac{\pi}{2} \). \[ \cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] \[ \sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] Ответ: \((0; 1)\). Задание 2. Определим четверть для угла \( \alpha \): I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) 1) \( \alpha = \frac{3\pi}{8} \). Так как \( 0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2} \), то \( 0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2} \). Ответ: I четверть. 2) \( \alpha = \frac{4\pi}{3} \). Так как \( 1 < \frac{4}{3} < 1,5 \), то \( \pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} \). Ответ: III четверть. 3) \( \alpha = 3,8 \). Примем \( \pi \approx 3,14 \) и \( \frac{3\pi}{2} \approx 4,71 \). Так как \( 3,14 < 3,8 < 4,71 \), то \( \pi < 3,8 < \frac{3\pi}{2} \). Ответ: III четверть. Задание 3. Для построения точек на окружности найдем их итоговое положение. 1) \( \alpha = \frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{2} \). Приведем к общему знаменателю: \[ \alpha = \frac{4\pi + 9\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \] Выделим полный оборот: \[ \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6} \] Точка совпадает с поворотом на угол \( \frac{\pi}{6} \) (30 градусов). Она находится в I четверти. 2) \( \alpha = 2\pi k, k \in Z \). Данное выражение описывает целое число полных оборотов вокруг начала координат. При любом целом \( k \) точка будет возвращаться в исходное положение. Ответ: Точка с координатами \((1; 0)\).