Решение задачи №11: Удлинение резинового жгута

Задача №11 Дано: \( \Delta l_1 = 4 \) см \( n = 2 \) (жгут сложили вдвое) \( m_1 = m_2 = m \) Найти: \( \Delta l_2 \) — ? Решение: 1. Согласно закону Гука, сила упругости \( F_{упр} \) прямо пропорциональна удлинению \( \Delta l \): \[ F_{упр} = k \cdot \Delta l \] В состоянии равновесия сила упругости равна силе тяжести груза: \[ m \cdot g = k_1 \cdot \Delta l_1 \] Отсюда начальное удлинение: \[ \Delta l_1 = \frac{m \cdot g}{k_1} \] 2. Жесткость резинового жгута \( k \) зависит от его параметров по формуле: \[ k = \frac{E \cdot S}{L} \] где \( E \) — модуль Юнга материала, \( S \) — площадь поперечного сечения, \( L \) — длина жгута. 3. Когда жгут складывают вдвое: - Его длина \( L \) уменьшается в 2 раза: \( L_2 = \frac{L_1}{2} \). - Его площадь поперечного сечения \( S \) увеличивается в 2 раза: \( S_2 = 2 \cdot S_1 \). 4. Найдем новую жесткость \( k_2 \): \[ k_2 = \frac{E \cdot (2 \cdot S_1)}{\frac{L_1}{2}} = 4 \cdot \frac{E \cdot S_1}{L_1} = 4 \cdot k_1 \] Таким образом, жесткость увеличилась в 4 раза. 5. Новое удлинение \( \Delta l_2 \) при том же грузе составит: \[ \Delta l_2 = \frac{m \cdot g}{k_2} = \frac{m \cdot g}{4 \cdot k_1} = \frac{1}{4} \cdot \Delta l_1 \] 6. Подставим числовое значение: \[ \Delta l_2 = \frac{4 \text{ см}}{4} = 1 \text{ см} \] Ответ: 1) 1 см.