Задача №19
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Данный многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.
Обозначим нижний параллелепипед как Параллелепипед 1, а верхний как Параллелепипед 2.
Параллелепипед 1 (нижний):
Длина \(a_1 = 6\)
Ширина \(b_1 = 6\)
Высота \(h_1 = 3\)
Параллелепипед 2 (верхний):
Длина \(a_2 = 4\)
Ширина \(b_2 = 4\)
Высота \(h_2 = 5\)
Площадь поверхности многогранника можно найти как сумму площадей всех его видимых граней.
Рассмотрим грани по отдельности:
1. Нижняя грань (основание Параллелепипеда 1):
Это прямоугольник со сторонами 6 и 6.
Площадь нижней грани: \(S_{нижняя} = a_1 \cdot b_1 = 6 \cdot 6 = 36\)
2. Боковые грани Параллелепипеда 1:
Их четыре. Две грани имеют размеры \(6 \times 3\), и две грани имеют размеры \(6 \times 3\).
Площадь боковых граней Параллелепипеда 1: \(S_{бок1} = 2 \cdot (a_1 \cdot h_1) + 2 \cdot (b_1 \cdot h_1) = 2 \cdot (6 \cdot 3) + 2 \cdot (6 \cdot 3) = 2 \cdot 18 + 2 \cdot 18 = 36 + 36 = 72\)
3. Верхняя грань Параллелепипеда 1:
Эта грань частично закрыта Параллелепипедом 2. Площадь этой грани, которая видна, равна площади всей верхней грани Параллелепипеда 1 минус площадь основания Параллелепипеда 2.
Площадь всей верхней грани Параллелепипеда 1: \(S_{верх1\_полная} = a_1 \cdot b_1 = 6 \cdot 6 = 36\)
Площадь основания Параллелепипеда 2: \(S_{осн2} = a_2 \cdot b_2 = 4 \cdot 4 = 16\)
Видимая часть верхней грани Параллелепипеда 1: \(S_{верх1\_видимая} = S_{верх1\_полная} - S_{осн2} = 36 - 16 = 20\)
4. Боковые грани Параллелепипеда 2:
Их четыре. Две грани имеют размеры \(4 \times 5\), и две грани имеют размеры \(4 \times 5\).
Площадь боковых граней Параллелепипеда 2: \(S_{бок2} = 2 \cdot (a_2 \cdot h_2) + 2 \cdot (b_2 \cdot h_2) = 2 \cdot (4 \cdot 5) + 2 \cdot (4 \cdot 5) = 2 \cdot 20 + 2 \cdot 20 = 40 + 40 = 80\)
5. Верхняя грань Параллелепипеда 2:
Это прямоугольник со сторонами 4 и 4.
Площадь верхней грани Параллелепипеда 2: \(S_{верх2} = a_2 \cdot b_2 = 4 \cdot 4 = 16\)
Общая площадь поверхности многогранника:
Суммируем площади всех видимых граней:
\(S_{общая} = S_{нижняя} + S_{бок1} + S_{верх1\_видимая} + S_{бок2} + S_{верх2}\)
\(S_{общая} = 36 + 72 + 20 + 80 + 16\)
\(S_{общая} = 224\)
Альтернативный способ (более простой):
Можно заметить, что площадь поверхности такого многогранника равна сумме площадей поверхностей двух отдельных параллелепипедов, за вычетом удвоенной площади соприкасающейся грани.
Площадь поверхности Параллелепипеда 1: \(S_1 = 2 \cdot (a_1 b_1 + a_1 h_1 + b_1 h_1) = 2 \cdot (6 \cdot 6 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = 2 \cdot (36 + 18 + 18) = 2 \cdot 72 = 144\)
Площадь поверхности Параллелепипеда 2: \(S_2 = 2 \cdot (a_2 b_2 + a_2 h_2 + b_2 h_2) = 2 \cdot (4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 2 \cdot (16 + 20 + 20) = 2 \cdot 56 = 112\)
Площадь соприкасающейся грани (основание Параллелепипеда 2): \(S_{соприкасающаяся} = a_2 \cdot b_2 = 4 \cdot 4 = 16\)
Общая площадь поверхности многогранника: \(S_{общая} = S_1 + S_2 - 2 \cdot S_{соприкасающаяся}\)
\(S_{общая} = 144 + 112 - 2 \cdot 16\)
\(S_{общая} = 256 - 32\)
\(S_{общая} = 224\)
Ответ:
Площадь поверхности многогранника равна 224.