Задача №4: Ускорение свободного падения на высоте

Задача №4 Дано: \( R_З = 6400 \) км \( g_0 = 9,80 \) м/с\(^2\) \( g_h = 4,90 \) м/с\(^2\) Найти: \( h \) — ? (расстояние от поверхности Земли) Решение: 1. Ускорение свободного падения на поверхности Земли определяется формулой: \[ g_0 = \frac{G \cdot M}{R_З^2} \] 2. Ускорение свободного падения на высоте \( h \) от поверхности Земли (на расстоянии \( R_З + h \) от центра) определяется формулой: \[ g_h = \frac{G \cdot M}{(R_З + h)^2} \] 3. Найдем отношение этих величин: \[ \frac{g_0}{g_h} = \frac{\frac{G \cdot M}{R_З^2}}{\frac{G \cdot M}{(R_З + h)^2}} = \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} \] 4. Подставим значения ускорений: \[ \frac{9,80}{4,90} = 2 \] Следовательно: \[ \frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = 2 \] 5. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ \frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{2} \] \[ 1 + \frac{h}{R_З} = \sqrt{2} \] \[ \frac{h}{R_З} = \sqrt{2} - 1 \] 6. Выразим высоту \( h \): \[ h = R_З \cdot (\sqrt{2} - 1) \] Подставим числовые значения (\( \sqrt{2} \approx 1,414 \)): \[ h = 6400 \cdot (1,414 - 1) = 6400 \cdot 0,414 \approx 2649,6 \text{ км} \] 7. Округляя до принятых в вариантах ответов значений, получаем: \[ h \approx 2,65 \cdot 10^3 \text{ км} \] Наиболее близкий вариант — 2,66 \cdot 10^3 км. Ответ: 2) 2,66 \cdot 10^3 км.