Решение задачи на векторное произведение векторов

Дано: \[ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{b}| = 2, \quad \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\pi}{6} \] Найти: модуль векторного произведения векторов \( (2\vec{a} + 3\vec{b}) \) и \( (\vec{a} - \vec{b}) \). Решение: 1. Обозначим искомый модуль как \( L \). Используем свойства векторного произведения (дистрибутивность и антикоммутативность): \[ L = |(2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})| \] 2. Раскроем скобки: \[ (2\vec{a} + 3\vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b}) \] 3. Учтем, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю (\( \vec{a} \times \vec{a} = 0 \), \( \vec{b} \times \vec{b} = 0 \)), а также что \( \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \): \[ = 0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -5(\vec{a} \times \vec{b}) \] 4. Найдем модуль полученного выражения: \[ L = |-5(\vec{a} \times \vec{b})| = 5 \cdot |\vec{a} \times \vec{b}| \] 5. Модуль векторного произведения \( |\vec{a} \times \vec{b}| \) вычисляется по формуле: \[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\angle\vec{a}, \vec{b}) \] \[ |\vec{a} \times \vec{b}| = 1 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 6. Окончательно находим \( L \): \[ L = 5 \cdot 1 = 5 \] Ответ: a. 5