Решение задачи: Смешанное произведение векторов

Дано: \[ |\vec{a}| = 1, \quad |\vec{b}| = 2, \quad |\vec{c}| = 3 \] \[ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\pi}{6} \] \[ \angle([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c}) = \frac{2\pi}{3} \] Найти: смешанное произведение \( \vec{a}\vec{b}\vec{c} \). Решение: 1. Смешанное произведение векторов \( \vec{a}\vec{b}\vec{c} \) по определению равно скалярному произведению вектора \( [\vec{a}, \vec{b}] \) (результат векторного произведения) на вектор \( \vec{c} \): \[ \vec{a}\vec{b}\vec{c} = ([\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}) \] 2. По формуле скалярного произведения: \[ ([\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c}) = |[\vec{a}, \vec{b}]| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(\angle([\vec{a}, \vec{b}], \vec{c})) \] 3. Найдем модуль векторного произведения \( |[\vec{a}, \vec{b}]| \): \[ |[\vec{a}, \vec{b}]| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\angle\vec{a}, \vec{b}) \] \[ |[\vec{a}, \vec{b}]| = 1 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 4. Теперь вычислим смешанное произведение, подставив все известные значения: \[ \vec{a}\vec{b}\vec{c} = 1 \cdot 3 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \] \[ \vec{a}\vec{b}\vec{c} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1,5 \] Ответ: a. -1,5