Нахождение объема пирамиды по координатам вершин

Дано: \[ A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4), D(5; 5; 6) \] Найти: объем пирамиды \( V \). Решение: 1. Найдем координаты векторов, выходящих из одной вершины (например, из \( A \)): \[ \vec{AB} = (4-2; 3-2; 3-2) = (2; 1; 1) \] \[ \vec{AC} = (4-2; 5-2; 4-2) = (2; 3; 2) \] \[ \vec{AD} = (5-2; 5-2; 6-2) = (3; 3; 4) \] 2. Объем пирамиды равен \( \frac{1}{6} \) модуля смешанного произведения этих векторов: \[ V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| \] 3. Вычислим смешанное произведение как определитель: \[ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{vmatrix} \] Разложим по первой строке: \[ = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} \] \[ = 2 \cdot (12 - 6) - 1 \cdot (8 - 6) + 1 \cdot (6 - 9) \] \[ = 2 \cdot 6 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 12 - 2 - 3 = 7 \] 4. Находим объем: \[ V = \frac{1}{6} \cdot |7| = \frac{7}{6} \] Ответ: a. 7/6