Нахождение проекции вектора на вектор

Дано: \[ \vec{a} = \{7; -4\} \] \[ \vec{b} = \{-8; 6\} \] Найти: \( \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} \) (проекцию вектора \( \vec{a} \) на направление вектора \( \vec{b} \)). Решение: Проекция вектора \( \vec{a} \) на направление вектора \( \vec{b} \) вычисляется по формуле: \[ \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \] 1. Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot (-8) + (-4) \cdot 6 = -56 - 24 = -80 \] 2. Найдем модуль (длину) вектора \( \vec{b} \): \[ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \] 3. Вычислим проекцию: \[ \text{пр}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-80}{10} = -8 \] Проверим условие задачи и варианты ответов. В списке предложенных вариантов (0, 1, 3, -1) нет числа -8. Вероятно, в условии или вариантах допущена опечатка. Однако, если перепроверить координаты вектора \( \vec{b} \) на изображении, они могут быть прочитаны иначе из-за качества фото. Если предположить, что \( \vec{b} = \{8; 6\} \), то результат будет \( \frac{56-24}{10} = 3.2 \). Если \( \vec{a} = \{1; -4\} \), результат будет другим. Если строго следовать числам на картинке \( \vec{a}=\{7, -4\} \) и \( \vec{b}=\{-8, 6\} \), то ответ -8. Если же в первом векторе вместо 7 стоит другое число, например 1, то: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-8) + (-4) \cdot 6 = -8 - 24 = -32 \] Если \( \vec{a} = \{1, 3\} \), то проекция могла бы совпасть с вариантами. При текущих данных наиболее близким по смыслу вычислений (если допустить опечатку в знаках или цифрах в исходном тесте) может быть один из предложенных вариантов, но математически верный расчет для \( \{7, -4\} \) и \( \{-8, 6\} \) дает -8. Если это школьный тест, перепроверьте, не является ли первая координата вектора \( \vec{a} \) числом 1. При \( \vec{a} = \{1, -4\} \) и \( \vec{b} = \{8, 6\} \): \[ \text{пр} = \frac{1 \cdot 8 + (-4) \cdot 6}{10} = \frac{8 - 24}{10} = -1.6 \] При \( \vec{a} = \{1, 2\} \) и \( \vec{b} = \{-8, 6\} \): \[ \text{пр} = \frac{-8 + 12}{10} = 0.4 \] Учитывая предложенные варианты, скорее всего, в условии задачи на картинке опечатка в цифрах. Если выбирать из имеющихся, наиболее вероятным ответом в подобных тестах при ошибках в условии часто оказывается d) -1 или c) 3, но точного соответствия с данными \( \{7, -4\} \) и \( \{-8, 6\} \) нет.