ВАРИАНТ 2
Часть А
Запишите номера верных ответов к заданию 1.
1. Используя рисунок, укажите верные утверждения:
(На рисунке изображены три треугольника: ABC, BCF, KLM.
В треугольнике ABC: угол K прямой (90 градусов), точка K лежит на AC. BK - отрезок.
В треугольнике BCF: угол N равен 29 градусов, угол F равен 29 градусов. Точка N лежит на BF. CN - отрезок.
В треугольнике KLM: стороны KL и LM равны 5. Точка S лежит на KM. KS - отрезок.
Утверждения:
1) BK – биссектриса треугольника ABC.
2) BK – высота треугольника ABC.
3) CN – медиана треугольника BCF.
4) CN – биссектриса треугольника BCF.
5) KS – биссектриса треугольника KLM.
Решение:
Рассмотрим каждое утверждение:
1) BK – биссектриса треугольника ABC. Биссектриса делит угол пополам. На рисунке показано, что BK перпендикулярна AC (угол K = 90 градусов), но нет информации о том, что она делит угол B пополам. Значит, это утверждение не обязательно верно.
2) BK – высота треугольника ABC. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. На рисунке видно, что BK перпендикулярна AC (угол K = 90 градусов). Значит, BK является высотой. Это утверждение верно.
3) CN – медиана треугольника BCF. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. На рисунке показано, что углы N и F равны 29 градусов, но нет информации о том, что N – середина BF. Значит, это утверждение не обязательно верно.
4) CN – биссектриса треугольника BCF. Биссектриса делит угол пополам. В треугольнике BCF углы N и F равны 29 градусов. Это означает, что треугольник BCF равнобедренный с основанием CF, и углы при основании равны. Однако, CN не является биссектрисой угла C, так как нет информации о делении угла C пополам. Если бы CN была биссектрисой, то она бы делила угол C на два равных угла. Это утверждение неверно.
5) KS – биссектриса треугольника KLM. На рисунке показано, что KL = LM = 5. Это означает, что треугольник KLM равнобедренный с основанием KM. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Однако, KS – это просто отрезок, соединяющий вершину K с точкой S на стороне KM. Нет информации о том, что KS делит угол K пополам. Это утверждение неверно.
Ответ: 2
Часть В
Запишите ответ к заданию 2.
2. Треугольник SPK – равнобедренный, SK – его основание (см. рисунок). Чему равен ∠2, если ∠1 = 48˚?
(На рисунке изображен треугольник SPK. Угол S обозначен как ∠1, угол K обозначен как ∠2.)
Решение:
По условию, треугольник SPK – равнобедренный, и SK – его основание. Это означает, что боковые стороны равны: SP = PK.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае, углы при основании SK – это ∠S (или ∠1) и ∠K (или ∠2).
Следовательно, ∠1 = ∠2.
Нам дано, что ∠1 = 48˚.
Значит, ∠2 = 48˚.
Ответ: 48
Часть С
Запишите обоснованное решение задач 3-5.
3. Отрезки AB и MK пересекаются в точке O, которая является серединой отрезка MK, ∠BMO = ∠AKO. Докажите, что ∠MOB = ∠KOA.
Решение:
Дано:
- Отрезки AB и MK пересекаются в точке O.
- O – середина отрезка MK, то есть MO = OK.
- ∠BMO = ∠AKO.
Доказать: ∠MOB = ∠KOA.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ΔMOB и ΔKOA.
1. По условию, O – середина отрезка MK, значит, MO = OK.
2. По условию, ∠BMO = ∠AKO.
3. Углы ∠MOB и ∠KOA являются вертикальными углами, так как отрезки AB и MK пересекаются в точке O. Вертикальные углы равны, то есть ∠MOB = ∠KOA.
Мы доказали, что ∠MOB = ∠KOA, используя свойство вертикальных углов.
(Примечание для школьника: Возможно, в задаче опечатка, и требовалось доказать равенство треугольников или что-то другое, так как равенство вертикальных углов является прямым следствием пересечения отрезков. Если же требовалось доказать равенство треугольников, то для этого не хватает данных. Например, если бы было дано, что ∠B = ∠A, то треугольники были бы равны по стороне и двум прилежащим углам (УСУ). Или если бы было дано, что MB = AK, то треугольники были бы равны по двум сторонам и углу между ними (СУС). В текущей формулировке, равенство ∠MOB = ∠KOA следует из определения вертикальных углов.)
4. В треугольнике BMC стороны BM и MC равны, точка A лежит на биссектрисе MK. Докажите, что AB = AC.
(Примечание: В условии задачи, вероятно, есть опечатка. Если точка A лежит на биссектрисе MK, то MK должна быть биссектрисой какого-то угла, связанного с точкой A. Также, если BM = MC, то треугольник BMC равнобедренный. Если MK – биссектриса угла M, то это не имеет прямого отношения к точке A. Если MK – биссектриса угла K, то это тоже не имеет прямого отношения к точке A. Возможно, имелся в виду треугольник ABC, и MK – биссектриса угла A, или что-то подобное. Или же MK – биссектриса угла B или C в треугольнике BMC, но тогда точка A не связана с ней.
Предположим, что в условии задачи допущена опечатка, и на самом деле речь идет о следующем: "В треугольнике ABC, BM = MC (то есть M – середина BC). Точка K лежит на биссектрисе угла A. Докажите, что AB = AC." Это тоже не совсем логично.
Наиболее вероятная интерпретация, которая позволяет доказать AB = AC, это если MK является биссектрисой угла M в треугольнике BMC, и точка A лежит на этой биссектрисе. Но тогда BM = MC уже дано, и это не помогает доказать AB = AC.
Другой вариант: В треугольнике ABC, BM = MC (то есть M – середина BC). Точка K лежит на биссектрисе угла A. Докажите, что AB = AC. Это тоже неверно.
Давайте попробуем интерпретировать условие так, чтобы оно имело смысл и приводило к доказательству AB = AC.
Возможно, имелся в виду треугольник ABC, и AM – биссектриса угла A, и BM = MC. Тогда AM является медианой и биссектрисой, что означает, что треугольник ABC равнобедренный с AB = AC.
Или же, если MK – биссектриса угла M в треугольнике BMC, и точка A лежит на этой биссектрисе. Но это не приводит к AB = AC.
Давайте предположим, что в условии задачи есть опечатка, и на самом деле имелось в виду: "В треугольнике ABC, AM – биссектриса угла A, и AM является медианой (то есть BM = MC). Докажите, что AB = AC." В этом случае доказательство простое: если биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный.
Однако, условие звучит как "В треугольнике BMC стороны BM и MC равны, точка A лежит на биссектрисе MK". Это очень странная формулировка.
Если BM = MC, то треугольник BMC равнобедренный с основанием BC.
Если MK – биссектриса, то биссектриса какого угла? Если угла M, то она делит угол M пополам. Если угла K, то угла K пополам.
И точка A лежит на биссектрисе MK.
И нужно доказать, что AB = AC.
Это возможно, если треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, и AM является медианой и биссектрисой.
Давайте попробуем переформулировать задачу, чтобы она имела смысл.
Предположение: В треугольнике ABC, AM является биссектрисой угла A. Также дано, что BM = MC (то есть AM является медианой). Докажите, что AB = AC.
Решение (по предположению):
Дано:
- Треугольник ABC.
- AM – биссектриса угла A (то есть ∠BAM = ∠CAM).
- AM – медиана (то есть BM = MC).
Доказать: AB = AC.
Доказательство:
1. Проведем из вершины C прямую, параллельную AM, до пересечения с продолжением стороны BA в точке D.
2. Так как AM || CD, то:
- ∠BAM = ∠BDC (соответственные углы при параллельных прямых AM и CD и секущей BD).
- ∠CAM = ∠ACD (накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и CD и секущей AC).
3. По условию, AM – биссектриса угла A, значит ∠BAM = ∠CAM.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что ∠BDC = ∠ACD. Это означает, что треугольник ACD равнобедренный с основанием CD, и AD = AC.
5. Рассмотрим треугольники ΔBAM и ΔCDM.
- BM = MC (по условию, AM – медиана).
- ∠BMA = ∠CMD (вертикальные углы).
- ∠ABM = ∠DCM (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BC).
6. Из этого следует, что ΔBAM = ΔCDM по стороне и двум прилежащим углам (УСУ). (Или по стороне и двум углам, если использовать ∠BAM = ∠CDM, но это не так).
Давайте используем другой подход, более простой.
Доказательство (альтернативное, более простое):
1. Продлим медиану AM на ее длину за точку M до точки D, так что AM = MD.
2. Рассмотрим треугольники ΔAMB и ΔDMC.
- AM = MD (по построению).
- BM = MC (по условию, AM – медиана).
- ∠AMB = ∠DMC (вертикальные углы).
3. Следовательно, ΔAMB = ΔDMC по двум сторонам и углу между ними (СУС).
4. Из равенства треугольников следует, что AB = DC и ∠BAM = ∠CDM.
5. По условию, AM – биссектриса угла A, значит ∠BAM = ∠CAM.
6. Из пунктов 4 и 5 следует, что ∠CAM = ∠CDM.
7. Рассмотрим треугольник ADC. Углы ∠CAM и ∠CDM являются углами этого треугольника. Если ∠CAM = ∠CDM, то треугольник ADC равнобедренный с основанием AD, и AC = DC.
8. Из пунктов 4 и 7 следует, что AB = DC и AC = DC. Значит, AB = AC.
(Если же строго следовать формулировке задачи, то она не имеет решения, так как точка A не связана с треугольником BMC таким образом, чтобы из BM = MC и того, что A лежит на биссектрисе MK, следовало AB = AC. Вероятно, задача подразумевает, что AM является биссектрисой и медианой в треугольнике ABC.)
Давайте попробуем еще одну интерпретацию, которая может быть ближе к исходной формулировке, но все равно требует допущений.
Предположим, что в треугольнике ABC, M – это точка на стороне BC. И дано, что BM = MC (то есть AM – медиана).
Далее, "точка A лежит на биссектрисе MK". Это означает, что MK – это биссектриса какого-то угла, и A лежит на ней. Если MK – биссектриса угла M в треугольнике BMC, то это не имеет смысла для AB = AC.
Если же MK – это биссектриса угла A, и точка A лежит на ней (что абсурдно, так как A – это вершина, а не точка на биссектрисе, если биссектриса исходит из другой вершины).
Наиболее логичное предположение для школьной задачи:
Задача 4. В треугольнике ABC, AM является биссектрисой угла A, и AM является медианой (то есть BM = MC). Докажите, что AB = AC.
Решение (по этой интерпретации):
Дано: