Нахождение координат вектора в заданном базисе

Дана система векторов \( \vec{e}_1 = (1, 0, 3) \), \( \vec{e}_2 = (-5, 3, 1) \), \( \vec{e}_3 = (-1, 1, 2) \) в \( \mathbb{R}^3 \). Требуется найти координаты вектора \( \vec{x} = (1, -1, 2) \) в этом базисе. Решение: Пусть \( \alpha, \beta, \gamma \) — искомые координаты вектора \( \vec{x} \) в базисе \( \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \). Тогда справедливо векторное уравнение: \[ \vec{x} = \alpha \vec{e}_1 + \beta \vec{e}_2 + \gamma \vec{e}_3 \] Перейдем к системе линейных уравнений, подставив координаты векторов: \[ \begin{cases} 1\alpha - 5\beta - 1\gamma = 1 \\ 0\alpha + 3\beta + 1\gamma = -1 \\ 3\alpha + 1\beta + 2\gamma = 2 \end{cases} \] Решим систему методом подстановки или исключения. Из второго уравнения выразим \( \gamma \): \[ \gamma = -1 - 3\beta \] Подставим это выражение в первое и третье уравнения: 1) \( \alpha - 5\beta - (-1 - 3\beta) = 1 \Rightarrow \alpha - 5\beta + 1 + 3\beta = 1 \Rightarrow \alpha - 2\beta = 0 \Rightarrow \alpha = 2\beta \) 2) \( 3\alpha + \beta + 2(-1 - 3\beta) = 2 \Rightarrow 3\alpha + \beta - 2 - 6\beta = 2 \Rightarrow 3\alpha - 5\beta = 4 \) Теперь подставим \( \alpha = 2\beta \) в уравнение \( 3\alpha - 5\beta = 4 \): \[ 3(2\beta) - 5\beta = 4 \] \[ 6\beta - 5\beta = 4 \] \[ \beta = 4 \] Найдем остальные переменные: \[ \alpha = 2 \cdot 4 = 8 \] \[ \gamma = -1 - 3 \cdot 4 = -1 - 12 = -13 \] Таким образом, координаты вектора в новом базисе: \( (8, 4, -13) \). Ответ: a. (8, 4, -13)