Нахождение объема пирамиды по координатам вершин

Для нахождения объёма пирамиды, заданной координатами своих вершин, воспользуемся методами векторной алгебры. Объём пирамиды \( V \), построенной на векторах \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \), вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{6} | (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) | \] где \( (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) \) — смешанное произведение векторов. 1. Найдем координаты векторов, выходящих из вершины \( A(2, 2, 2) \): \[ \vec{AB} = (4-2; 3-2; 3-2) = (2; 1; 1) \] \[ \vec{AC} = (4-2; 5-2; 4-2) = (2; 3; 2) \] \[ \vec{AD} = (5-2; 5-2; 6-2) = (3; 3; 4) \] 2. Вычислим смешанное произведение этих векторов через определитель: \[ (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{vmatrix} \] Раскроем определитель по первой строке: \[ = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} \] \[ = 2 \cdot (12 - 6) - 1 \cdot (8 - 6) + 1 \cdot (6 - 9) \] \[ = 2 \cdot 6 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 12 - 2 - 3 = 7 \] 3. Находим объём пирамиды: \[ V = \frac{1}{6} \cdot |7| = \frac{7}{6} \] Правильный ответ: c. \( \frac{7}{6} \) Запись в тетрадь: Дано: \( A(2,2,2), B(4,3,3), C(4,5,4), D(5,5,6) \). 1) Находим векторы: \( \vec{AB}(2,1,1), \vec{AC}(2,3,2), \vec{AD}(3,3,4) \). 2) Смешанное произведение: \[ \vec{AB} \cdot [\vec{AC} \times \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 2(12-6) - 1(8-6) + 1(6-9) = 12-2-3 = 7 \] 3) Объём: \( V = \frac{1}{6} \cdot 7 = \frac{7}{6} \). Ответ: \( \frac{7}{6} \).