Решение задачи №3: Пересечение плоскостей и точка C

Ниже представлено решение задач с карточки в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь. Задача №3 Дано: Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). \(C \notin a\) (точка \(C\) не лежит на прямой \(a\)). Вопрос: Может ли точка \(C\) принадлежать плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\) одновременно? Решение: Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. В данной задаче плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Это означает, что любая точка, принадлежащая обеим плоскостям одновременно, обязана лежать на линии их пересечения — прямой \(a\). Так как по условию и рисунку точка \(C\) не лежит на прямой \(a\), она не может принадлежать обеим плоскостям одновременно. Она может принадлежать либо только \(\alpha\), либо только \(\beta\), либо ни одной из них. Ответ: Нет, не может. Задача №4 Дано: Точка \(D\) лежит вне плоскости \(ABC\) (\(D \notin (ABC)\)). Точка \(E\) лежит на отрезке \(AC\). Вопрос: Пересекаются ли прямые \(DE\) и \(BC\)? Решение: 1. Прямая \(BC\) целиком лежит в плоскости \(ABC\). 2. Точка \(E\) лежит на прямой \(AC\), следовательно, \(E\) также принадлежит плоскости \(ABC\). 3. Точка \(D\) по условию не принадлежит плоскости \(ABC\). 4. Прямая \(DE\) проходит через точку \(E\), лежащую в плоскости, и точку \(D\), находящуюся вне этой плоскости. Следовательно, прямая \(DE\) пересекает плоскость \(ABC\) только в одной точке — точке \(E\). 5. Чтобы прямые пересекались, они должны лежать в одной плоскости. Прямая \(BC\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(DE\) не лежит в ней (так как точка \(D\) вне плоскости). Единственная общая точка прямой \(DE\) с плоскостью \(ABC\) — это точка \(E\). Но точка \(E\) не лежит на прямой \(BC\) (согласно рисунку). Следовательно, прямые \(DE\) и \(BC\) являются скрещивающимися. Ответ: Нет, не пересекаются. Задача №5 Дано: Лучи \(MA\), \(MB\) и \(MC\) лежат в одной плоскости (назовем ее \(\gamma\)). Плоскость \(\gamma\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точках \(A\), \(B\) и \(C\). Доказать: Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой. Доказательство: 1. По условию точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются точками пересечения лучей с плоскостью \(\alpha\). Значит, эти точки принадлежат плоскости \(\alpha\). 2. Так как лучи \(MA\), \(MB\) и \(MC\) лежат в одной плоскости \(\gamma\), то и точки \(A\), \(B\) и \(C\) принадлежат плоскости \(\gamma\). 3. Таким образом, точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются общими точками для двух плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\). 4. По аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общие точки, то они пересекаются по прямой. Все общие точки этих плоскостей должны лежать на этой прямой пересечения. Следовательно, точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на прямой пересечения плоскостей \(\alpha\) и \(\gamma\). Что и требовалось доказать.