Решение уравнения гиперболы 16x² - 9y² + 144 = 0

Для решения этой задачи необходимо привести уравнение гиперболы к каноническому виду. Дано уравнение: \[ 16x^2 - 9y^2 + 144 = 0 \] Решение: 1. Перенесем свободный член в правую часть: \[ 16x^2 - 9y^2 = -144 \] 2. Разделим обе части уравнения на \(-144\), чтобы справа получить единицу: \[ \frac{16x^2}{-144} - \frac{9y^2}{-144} = 1 \] \[ -\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \] Или в стандартном виде для сопряженной гиперболы: \[ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1 \] 3. Из полученного уравнения видно, что это гипербола, ветви которой направлены вдоль оси \( Oy \). Параметры гиперболы: \[ a^2 = 9 \implies a = 3 \] \[ b^2 = 16 \implies b = 4 \] 4. Найдем фокусное расстояние \( c \) по формуле для гиперболы: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ c = 5 \] 5. Так как гипербола вытянута вдоль оси \( Oy \) (перед \( y^2 \) стоит знак плюс), фокусы лежат на оси ординат и имеют координаты \( F_1(0; -c) \) и \( F_2(0; c) \). \[ F_1(0; -5), F_2(0; 5) \] Правильный ответ: b. \( F_1(0, -5), F_2(0, 5) \) Запись в тетрадь: \[ 16x^2 - 9y^2 = -144 \quad | : (-144) \] \[ \frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1 \] Это сопряженная гипербола с полуосями \( b=4 \) и \( a=3 \). Фокусное расстояние: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \). Так как ветви направлены вдоль оси \( Oy \), фокусы: \( F_1(0; -5) \) и \( F_2(0; 5) \). Ответ: \( F_1(0, -5), F_2(0, 5) \).