Решение уравнения x^2 - 4y^2 - 8y = 0: определение типа кривой

Решение задачи: Дано уравнение линии: \[ x^2 - 4y^2 - 8y = 0 \] 1. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной \( y \): \[ x^2 - 4(y^2 + 2y) = 0 \] \[ x^2 - 4(y^2 + 2y + 1 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 4((y + 1)^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 4(y + 1)^2 + 4 = 0 \] 2. Перенесем свободный член в правую часть и разделим на него: \[ x^2 - 4(y + 1)^2 = -4 \] Разделим обе части на \(-4\): \[ \frac{x^2}{-4} - \frac{4(y + 1)^2}{-4} = 1 \] \[ \frac{(y + 1)^2}{1} - \frac{x^2}{4} = 1 \] Это уравнение гиперболы, ветви которой направлены вдоль оси \( Oy \) (смещенной на 1 единицу вниз). 3. Определим параметры гиперболы: Канонический вид такой гиперболы: \( \frac{(y-y_0)^2}{a^2} - \frac{(x-x_0)^2}{b^2} = 1 \). Отсюда: \( a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \) (мнимая полуось в стандартном понимании расположения фокусов на оси \( Oy \)) \( b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \) 4. Найдем половину расстояния между фокусами \( c \). Для гиперболы справедливо соотношение: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 1 + 4 = 5 \] \[ c = \sqrt{5} \] 5. Расстояние между фокусами равно \( 2c \): \[ 2c = 2\sqrt{5} \] Ответ: c. \( 2\sqrt{5} \)