Необходимое условие экстремума функции двух переменных

Вопрос: Если точка \( M_0(x_0; y_0) \) является точкой экстремума функции \( z = f(x, y) \), то верно что: Решение: Согласно необходимому условию экстремума функции нескольких переменных, если дифференцируемая функция \( f(x, y) \) имеет в точке \( M_0(x_0; y_0) \) экстремум (максимум или минимум), то её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю. Математически это записывается в виде системы уравнений: \[ \begin{cases} f'_x(x_0, y_0) = 0 \\ f'_y(x_0, y_0) = 0 \end{cases} \] Следовательно, частные производные по обеим переменным должны быть равны нулю одновременно. Рассмотрим предложенные варианты: а) \( f'_x < f'_y < 0 \) — неверно. b) \( f'_x \neq f'_y \) — неверно. c) \( f'_x = f'_y = 1 \) — неверно. d) \( f'_x(x_0, y_0) = f'_y(x_0, y_0) = 0 \) — верно. e) \( f'_x > f'_y > 0 \) — неверно. Правильный ответ: d. Ответ: \( f'_x(x_0, y_0) = f'_y(x_0, y_0) = 0 \)