Найти координаты вектора в заданном базисе

Дана система векторов \( e_1 = (1, 0, 3) \), \( e_2 = (-5, 3, 1) \), \( e_3 = (-1, 1, 2) \) в \( R^3 \). Найти координаты вектора \( \vec{v} = (1, -1, 2) \) в этом базисе. Решение для записи в тетрадь: 1. Пусть \( x, y, z \) — искомые координаты вектора \( \vec{v} \) в базисе \( e_1, e_2, e_3 \). Тогда справедливо векторное уравнение: \[ \vec{v} = x \cdot e_1 + y \cdot e_2 + z \cdot e_3 \] 2. Запишем это уравнение в виде системы линейных уравнений, подставив координаты векторов: \[ \begin{cases} 1x - 5y - 1z = 1 \\ 0x + 3y + 1z = -1 \\ 3x + 1y + 2z = 2 \end{cases} \] 3. Решим систему. Из второго уравнения выразим \( z \): \[ z = -1 - 3y \] 4. Подставим \( z \) в первое и третье уравнения: \[ \begin{cases} x - 5y - (-1 - 3y) = 1 \\ 3x + y + 2(-1 - 3y) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 5y + 1 + 3y = 1 \\ 3x + y - 2 - 6y = 2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y \\ 3x - 5y = 4 \end{cases} \] 5. Подставим \( x = 2y \) во второе уравнение: \[ 3(2y) - 5y = 4 \Rightarrow 6y - 5y = 4 \Rightarrow y = 4 \] 6. Находим остальные переменные: \[ x = 2 \cdot 4 = 8 \] \[ z = -1 - 3 \cdot 4 = -1 - 12 = -13 \] Координаты вектора: \( (8, 4, -13) \). Ответ: a. (8, 4, -13)