Собственные векторы и ненулевые решения системы

Вопрос: Ненулевые решения системы определяются собственными векторами матрицы относительно собственного числа. Так ли это? Ответ: с. да Обоснование для записи в тетрадь: Это утверждение напрямую следует из определения собственного вектора. Для квадратной матрицы \( A \) и собственного числа \( \lambda \) собственный вектор \( \vec{x} \) находится из уравнения: \[ A\vec{x} = \lambda\vec{x} \] Перенося все слагаемые в одну сторону, получаем однородную систему линейных уравнений: \[ (A - \lambda E)\vec{x} = \vec{0} \] По определению, собственным вектором может быть только ненулевой вектор (\( \vec{x} \neq \vec{0} \)). Следовательно, совокупность всех собственных векторов, соответствующих числу \( \lambda \), в точности совпадает с множеством всех ненулевых решений данной системы уравнений.