Решение задачи №9: угол между AF1 и DE1 в правильной шестиугольной призме

Задача №9 Дано: \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) — правильная шестиугольная призма. Все ребра равны 1. Найти: угол между прямыми \(AF_1\) и \(DE_1\). Решение: 1. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми \(AF_1\) и \(DE_1\) воспользуемся методом параллельного переноса. Заметим, что в правильном шестиугольнике \(ABCDEF\) сторона \(AF\) параллельна стороне \(CD\). Следовательно, в призме грань \(AFF_1A_1\) параллельна грани \(CDD_1C_1\). 2. Рассмотрим прямую \(BE_1\). В правильном шестиугольнике диагональ \(BE\) параллельна стороне \(AF\) только в том случае, если рассматривать другие соотношения, но здесь удобнее заметить, что вектор \( \vec{DE_1} \) можно спроецировать или перенести. Однако проще всего воспользоваться методом координат. 3. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания \(O\) — начало координат. Тогда координаты вершин (при ребре равном 1): \(A (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)\) \(F (- \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)\) \(F_1 (- \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)\) \(D (-1; 0; 0)\) \(E (- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)\) \(E_1 (- \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1)\) 4. Найдем координаты векторов: \( \vec{AF_1} = (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}); 1 - 0) = (-1; 0; 1) \) \( \vec{DE_1} = (- \frac{1}{2} - (-1); \frac{\sqrt{3}}{2} - 0; 1 - 0) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1) \) 5. Вычислим косинус угла \(\alpha\) между векторами по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{|\vec{AF_1} \cdot \vec{DE_1}|}{|\vec{AF_1}| \cdot |\vec{DE_1}|} \] 6. Находим скалярное произведение: \[ \vec{AF_1} \cdot \vec{DE_1} = (-1) \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 1 = -0.5 + 0 + 1 = 0.5 \] 7. Находим длины векторов: \[ |\vec{AF_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{DE_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{2} \] 8. Подставляем значения: \[ \cos \alpha = \frac{0.5}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \] 9. Угол \(\alpha\): \[ \alpha = \arccos(0.25) \] Ответ: \(\arccos 0.25\) (или \(\arccos \frac{1}{4}\)).