Решение задач: Перпендикулярность прямой и плоскости

Ниже представлено решение задач из таблицы 10.9 «Перпендикулярность прямой и плоскости», оформленное для записи в тетрадь. Задача 1 Доказать: \( AC \perp (AMB) \). Доказательство: 1. По чертежу видно, что \( AC \perp AM \) (отмечен прямой угол). 2. Также по чертежу \( AC \perp AB \) (отмечен прямой угол). 3. Прямые \( AM \) и \( AB \) пересекаются в точке \( A \) и лежат в плоскости \( (AMB) \). 4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, \( AC \perp (AMB) \). Задача 2 Дано: \( BMDC \) — прямоугольник. Доказать: \( CD \perp (ABC) \). Доказательство: 1. Так как \( BMDC \) — прямоугольник, то его смежные стороны перпендикулярны: \( CD \perp BC \). 2. По чертежу \( MB \perp (ABC) \). Так как в прямоугольнике противоположные стороны параллельны (\( CD \parallel MB \)), то по свойству параллельных прямых: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. 3. Значит, \( CD \perp (ABC) \). Задача 3 Дано: \( ABCD \) — прямоугольник. Доказать: \( AD \perp AM \). Доказательство: 1. По чертежу \( MB \perp (ABC) \). Следовательно, \( MB \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит \( MB \perp AD \). 2. Так как \( ABCD \) — прямоугольник, то \( AD \perp AB \). 3. Получаем, что прямая \( AD \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AB \) и \( MB \) плоскости \( (AMB) \). Значит, \( AD \perp (AMB) \). 4. Так как прямая \( AM \) лежит в плоскости \( (AMB) \), а \( AD \perp (AMB) \), то по определению \( AD \perp AM \). Задача 4 Доказать: \( BC \perp DE \). Доказательство: 1. Из чертежа видно, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AC = AB \)), \( D \) — середина \( BC \). Значит, медиана \( AD \) является и высотой: \( AD \perp BC \). 2. Также \( \triangle MBC \) — равнобедренный (\( MC = MB \)), \( D \) — середина \( BC \). Значит, медиана \( MD \) является и высотой: \( MD \perp BC \). 3. Прямая \( BC \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AD \) и \( MD \) плоскости \( (AMD) \). Следовательно, \( BC \perp (AMD) \). 4. Так как прямая \( DE \) лежит в плоскости \( (AMD) \), то \( BC \perp DE \). Задача 5 Дано: \( ABCD \) — параллелограмм. Доказать: \( MO \perp (ABC) \). Доказательство: 1. По чертежу \( MA = MC \) и \( MB = MD \). Точка \( O \) — точка пересечения диагоналей параллелограмма, которая делит их пополам (\( AO = OC \), \( BO = OD \)). 2. В равнобедренном \( \triangle MAC \) медиана \( MO \) является высотой: \( MO \perp AC \). 3. В равнобедренном \( \triangle MBD \) медиана \( MO \) является высотой: \( MO \perp BD \). 4. Прямая \( MO \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AC \) и \( BD \) плоскости \( (ABC) \). Значит, \( MO \perp (ABC) \). Задача 6 Дано: \( ABCD \) — ромб. Доказать: \( BD \perp (AMC) \). Доказательство: 1. По свойству ромба его диагонали взаимно перпендикулярны: \( BD \perp AC \). 2. По чертежу \( MB = MD \), значит \( \triangle MBD \) — равнобедренный. Точка \( O \) — середина \( BD \), поэтому медиана \( MO \) является высотой: \( MO \perp BD \). 3. Прямая \( BD \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AC \) и \( MO \) плоскости \( (AMC) \). 4. Следовательно, \( BD \perp (AMC) \).