Решение: Проверочная работа по теме Теорема Виета. Вариант 1

Проверочная работа по теме: Теорема Виета. Вариант 1. Задание 1. По теореме Виета для уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): Сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\) а) \(x^2 - 16x + 28 = 0\) \(x_1 + x_2 = 16\) \(x_1 \cdot x_2 = 28\) б) \(x^2 - 12x - 45 = 0\) \(x_1 + x_2 = 12\) \(x_1 \cdot x_2 = -45\) в) \(3x^2 - 6x - 7 = 0\) \(x_1 + x_2 = -\frac{-6}{3} = 2\) \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}\) г) \(8x - 2x^2 + 3 = 0\) Перепишем в стандартном виде: \(-2x^2 + 8x + 3 = 0\) \(x_1 + x_2 = -\frac{8}{-2} = 4\) \(x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{-2} = -1,5\) Задание 2. Дано: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\). Составим уравнение вида \(x^2 + px + q = 0\). \(p = -(x_1 + x_2) = -(2 + 5) = -7\) \(q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 5 = 10\) Уравнение: \(x^2 - 7x + 10 = 0\) Задание 3. \(x^2 + 17x - 38 = 0\), \(x_1 = 2\). По теореме Виета: \(x_1 \cdot x_2 = -38\) \(2 \cdot x_2 = -38\) \(x_2 = -38 : 2\) \(x_2 = -19\) Ответ: -19. Задание 4. а) \(x^2 + 10x + 17 = 0\) \(x_1 \cdot x_2 = 17 > 0\) (знаки одинаковые), \(x_1 + x_2 = -10 < 0\) (оба отрицательные). Ответ: оба корня отрицательные. б) \(3y^2 - 23y + 21 = 0\) \(y_1 \cdot y_2 = \frac{21}{3} = 7 > 0\) (знаки одинаковые), \(y_1 + y_2 = \frac{23}{3} > 0\) (оба положительные). Ответ: оба корня положительные. в) \(x^2 + \sqrt{6}x + 8 = 0\) \(D = (\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 8 = 6 - 32 = -26\). Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Задание 5. а) \(y^2 + 8y + 15 = 0\) \(y_1 + y_2 = -8\), \(y_1 \cdot y_2 = 15\). Подбором: \(y_1 = -3\), \(y_2 = -5\). б) \(c^2 - 3c - 10 = 0\) \(c_1 + c_2 = 3\), \(c_1 \cdot c_2 = -10\). Подбором: \(c_1 = 5\), \(c_2 = -2\). Задание 6. Пусть \(x\) — первое натуральное число, тогда \((x + 8)\) — второе число. По условию: \(x(x + 8) = 273\) \(x^2 + 8x - 273 = 0\) По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = -8\) \(x_1 \cdot x_2 = -273\) Разложим 273 на множители: \(273 = 3 \cdot 7 \cdot 13 = 21 \cdot 13\). Разность между 21 и 13 равна 8. Корни уравнения: \(x_1 = 13\), \(x_2 = -21\). Так как числа натуральные, подходит только \(x = 13\). Второе число: \(13 + 8 = 21\). Ответ: 13 и 21.