Решение задач с показательными выражениями: №1, №3, №5

Ниже представлены решения задач с изображения в удобном для переписывания виде. №1. Найдите значение выражения: \( 121^{0,16} \cdot 11^{1,68} \) Решение: Представим \( 121 \) как \( 11^2 \): \[ (11^2)^{0,16} \cdot 11^{1,68} = 11^{2 \cdot 0,16} \cdot 11^{1,68} = 11^{0,32} \cdot 11^{1,68} \] При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: \[ 11^{0,32 + 1,68} = 11^2 = 121 \] Ответ: 121 №3. Найдите значение выражения: \( \frac{3^{6,5}}{9^{2,25}} \) Решение: Представим \( 9 \) как \( 3^2 \): \[ \frac{3^{6,5}}{(3^2)^{2,25}} = \frac{3^{6,5}}{3^{2 \cdot 2,25}} = \frac{3^{6,5}}{3^{4,5}} \] При делении показатели вычитаются: \[ 3^{6,5 - 4,5} = 3^2 = 9 \] Ответ: 9 №5. Найдите значение выражения: \( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{1}{3}} \) Решение: Так как показатели степеней одинаковы, можно внести числа под общий корень или объединить под одну степень: \[ (9 \cdot 81)^{\frac{1}{3}} = (9 \cdot 9^2)^{\frac{1}{3}} = (9^3)^{\frac{1}{3}} = 9^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 9^1 = 9 \] Ответ: 9 №7. Найдите значение выражения: \( \frac{(2^{\frac{3}{5}} \cdot 5^{\frac{2}{3}})^{15}}{10^9} \) Решение: Раскроем скобки в числителе, перемножив показатели: \[ \frac{2^{\frac{3}{5} \cdot 15} \cdot 5^{\frac{2}{3} \cdot 15}}{10^9} = \frac{2^9 \cdot 5^{10}}{10^9} \] Разложим \( 10^9 \) в знаменателе как \( (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9 \): \[ \frac{2^9 \cdot 5^{10}}{2^9 \cdot 5^9} = \frac{5^{10}}{5^9} = 5^{10-9} = 5^1 = 5 \] Ответ: 5 №9. Найдите значение выражения: \( \frac{a^{8,8}}{a^{6,8}} \) при \( a = 0,6 \) Решение: Сначала упростим выражение: \[ a^{8,8 - 6,8} = a^2 \] Подставим значение \( a = 0,6 \): \[ 0,6^2 = 0,36 \] Ответ: 0,36 №11. Найдите значение выражения: \( \frac{a^{5,58} \cdot a^{2,9}}{a^{6,48}} \) при \( a = 7 \) Решение: Упростим выражение, используя свойства степеней: \[ \frac{a^{5,58 + 2,9}}{a^{6,48}} = \frac{a^{8,48}}{a^{6,48}} = a^{8,48 - 6,48} = a^2 \] Подставим \( a = 7 \): \[ 7^2 = 49 \] Ответ: 49 №13. Найдите значение выражения: \( \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{4}} \cdot n^{\frac{1}{12}}} \) при \( n = 81 \) Решение: Упростим знаменатель: \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] Теперь разделим числитель на знаменатель: \[ \frac{n^{\frac{5}{6}}}{n^{\frac{1}{3}}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{1}{3}} = n^{\frac{5}{6} - \frac{2}{6}} = n^{\frac{3}{6}} = n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{n} \] Подставим \( n = 81 \): \[ \sqrt{81} = 9 \] Ответ: 9 №15. Найдите значение выражения: \( b^{\frac{1}{4}} \cdot (b^{\frac{1}{4}})^3 \) при \( b = 7 \) Решение: Упростим выражение: \[ b^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{4} \cdot 3} = b^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = b^{\frac{4}{4}} = b^1 = b \] При \( b = 7 \) значение выражения равно 7. Ответ: 7 №17. Найдите значение выражения: \( 25^{2\sqrt{8}+3} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}} \) Решение: Приведем к основанию 5: \[ (5^2)^{2\sqrt{8}+3} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}} = 5^{4\sqrt{8}+6} \cdot 5^{-3-4\sqrt{8}} \] Сложим показатели: \[ 5^{4\sqrt{8} + 6 - 3 - 4\sqrt{8}} = 5^3 = 125 \] Ответ: 125 №19. Найдите значение выражения: \( \frac{8^{\sqrt{11}} \cdot 2^{\sqrt{11}}}{16^{\sqrt{11}-2}} \) Решение: Приведем всё к основанию 2: \[ \frac{(2^3)^{\sqrt{11}} \cdot 2^{\sqrt{11}}}{(2^4)^{\sqrt{11}-2}} = \frac{2^{3\sqrt{11}} \cdot 2^{\sqrt{11}}}{2^{4\sqrt{11}-8}} = \frac{2^{4\sqrt{11}}}{2^{4\sqrt{11}-8}} \] Вычтем показатели: \[ 2^{4\sqrt{11} - (4\sqrt{11} - 8)} = 2^{4\sqrt{11} - 4\sqrt{11} + 8} = 2^8 = 256 \] Ответ: 256 №21. Найдите значение выражения: \( \frac{b^{10\sqrt{7}+3}}{(b^{\sqrt{7}})^{10}} \) при \( b = 0,5 \) Решение: Упростим выражение: \[ \frac{b^{10\sqrt{7}+3}}{b^{10\sqrt{7}}} = b^{10\sqrt{7} + 3 - 10\sqrt{7}} = b^3 \] Подставим \( b = 0,5 \): \[ 0,5^3 = 0,125 \] Ответ: 0,125 №23. Найдите значение выражения: \( x \cdot 5^{4x-1} \cdot 25^{-2x} \) при \( x = 0,1 \) Решение: Упростим степенную часть: \[ 5^{4x-1} \cdot (5^2)^{-2x} = 5^{4x-1} \cdot 5^{-4x} = 5^{4x - 1 - 4x} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Теперь умножим на \( x \): \[ x \cdot 0,2 = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02 \] Ответ: 0,02