Решение задачи по надежности системы, вариант 13

Ниже представлено решение задачи согласно вашему варианту и алгоритму, приведенному на изображениях. Решение оформлено для удобного переписывания в тетрадь. Дано: Вариант: 13 Количество элементов: \( n = 13 \) Среднее время безотказной работы элемента: \( T_{ср.i} = 1500 \) ч. Время расчета: \( t = 66 \) ч. 1. Нерезервированная система. 1.1 Интенсивность отказов одного элемента \( \lambda_i \): \[ \lambda_i = \frac{1}{T_{ср.i}} = \frac{1}{1500} \approx 0,000667 \text{ ч}^{-1} \] 1.2 Интенсивность отказов системы \( \lambda_c \): \[ \lambda_c = \lambda_i \cdot n = 0,000667 \cdot 13 = 0,008671 \text{ ч}^{-1} \] 1.3 Среднее время безотказной работы системы \( T_{ср}(t) \): \[ T_{ср}(t) = \frac{1}{\lambda_c} = \frac{1}{0,008671} \approx 115,33 \text{ ч.} \] 1.4 Вероятность безотказной работы системы \( P_c(t) \): \[ P_c(t) = e^{-\lambda_c t} = e^{-0,008671 \cdot 66} = e^{-0,572286} \approx 0,5642 \] 1.5 Частота отказов системы \( \varphi_c(t) \): \[ \varphi_c(t) = \lambda_c \cdot P_c(t) = 0,008671 \cdot 0,5642 \approx 0,004892 \text{ ч}^{-1} \] 2. Дублированная система при постоянно включенном резерве (m=1). 2.1 Интенсивность отказов одного элемента \( \lambda_i \): \[ \lambda_i = 0,000667 \text{ ч}^{-1} \] 2.2 Интенсивность отказов системы \( \lambda_c \): \[ \lambda_c = \lambda_i \cdot n = 0,008671 \text{ ч}^{-1} \] 2.3 Среднее время безотказной работы системы \( T_{ср}(t) \): \[ T_{ср}(t) = \frac{1}{\lambda_c} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = \frac{1,5}{0,008671} \approx 173,00 \text{ ч.} \] 2.4 Вероятность безотказной работы системы \( P_c(t) \): \[ P_c(t) = 2e^{-\lambda_c t} - e^{-2\lambda_c t} = 2e^{-0,5723} - e^{-1,1446} = 2 \cdot 0,5642 - 0,3183 \approx 0,8101 \] 2.5 Частота отказов системы \( \varphi_c(t) \): \[ \varphi_c(t) = 2\lambda_c \cdot e^{-\lambda_c t} \cdot (1 - e^{-\lambda_c t}) = 2 \cdot 0,008671 \cdot 0,5642 \cdot (1 - 0,5642) \approx 0,004264 \text{ ч}^{-1} \] 2.6 Интенсивность отказов системы \( \lambda_c(t) \): \[ \lambda_c(t) = \frac{\varphi_c(t)}{P_c(t)} = \frac{0,004264}{0,8101} \approx 0,005264 \text{ ч}^{-1} \] 3. Дублированная система при включении резерва по способу замещения (ненагруженный резерв, m=1). 3.1 Интенсивность отказов одного элемента \( \lambda_i = 0,000667 \text{ ч}^{-1} \). 3.2 Интенсивность отказов системы \( \lambda_c = 0,008671 \text{ ч}^{-1} \). 3.3 Среднее время безотказной работы системы \( T_{ср}(t) \): \[ T_{ср}(t) = \frac{m+1}{\lambda_c} = \frac{2}{0,008671} \approx 230,65 \text{ ч.} \] 3.4 Вероятность безотказной работы системы \( P_c(t) \): \[ P_c(t) = e^{-\lambda_c t} \cdot (1 + \lambda_c t) = 0,5642 \cdot (1 + 0,5723) = 0,5642 \cdot 1,5723 \approx 0,8871 \] 3.5 Частота отказов системы \( \varphi_c(t) \): \[ \varphi_c(t) = \lambda_c^2 \cdot t \cdot e^{-\lambda_c t} = (0,008671)^2 \cdot 66 \cdot 0,5642 \approx 0,002798 \text{ ч}^{-1} \] 3.6 Интенсивность отказов системы \( \lambda_c(t) \): \[ \lambda_c(t) = \frac{\lambda_c^2 \cdot t}{1 + \lambda_c t} = \frac{(0,008671)^2 \cdot 66}{1 + 0,5723} \approx 0,003154 \text{ ч}^{-1} \] 4. Сравнение результатов. Сравнивая показатели, можно сделать вывод, что система с ненагруженным резервом (замещением) является наиболее надежной: - Вероятность безотказной работы \( P_c(t) \) самая высокая (0,8871 против 0,8101 и 0,5642). - Среднее время наработки на отказ \( T_{ср} \) максимально (230,65 ч). - Интенсивность отказов \( \lambda_c(t) \) минимальна. Это подтверждает эффективность инженерных подходов, применяемых в отечественной промышленности для обеспечения высокой живучести критически важных систем энергоснабжения.