Решение задачи: Определение реакций опор твердого тела

Задача по теоретической механике: Определение реакций опор твердого тела. Дано: \( AB = 3l \) \( BC = 2l \) \( F_1 = 2P \) \( F_2 = 3P \) \( M = 4Pl \) \( F_1 \parallel XZ \) (под углом \( 30^\circ \) к вертикали) \( F_2 \parallel X \) Вес пластины \( P \) приложен в центре тяжести (геометрическом центре прямоугольника \( AB \times BC \)). Найти: Реакции опор в точках \( A \), \( B \) и натяжение стержня \( CC' \). Решение: 1. Анализ опор: В точке \( A \) — сферический шарнир (три реакции: \( X_A, Y_A, Z_A \)). В точке \( B \) — цилиндрический шарнир (подшипник), перпендикулярный оси \( Z \) (две реакции: \( X_B, Y_B \)). В точке \( C \) — невесомый стержень \( CC' \). Сила реакции \( T \) направлена вдоль стержня под углом \( 30^\circ \) к горизонтали. 2. Разложим силы на составляющие по осям: Сила \( F_1 \): \[ F_{1x} = F_1 \cdot \sin(30^\circ) = 2P \cdot 0.5 = P \] \[ F_{1z} = F_1 \cdot \cos(30^\circ) = 2P \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = P\sqrt{3} \] Сила \( F_2 \): \[ F_{2x} = F_2 = 3P \] Сила реакции стержня \( T \): \[ T_y = -T \cdot \cos(30^\circ) = -T \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ T_z = T \cdot \sin(30^\circ) = 0.5T \] 3. Составим уравнения равновесия: Сумма моментов относительно оси \( X \) (проходит через \( A \)): \[ \sum M_x = 0: -P \cdot l + F_{1z} \cdot 2l + T_z \cdot 2l + M = 0 \] Подставляем значения: \[ -P \cdot l + P\sqrt{3} \cdot 2l + 0.5T \cdot 2l + 4Pl = 0 \] \[ -Pl + 2\sqrt{3}Pl + Tl + 4Pl = 0 \] \[ Tl = -3Pl - 2\sqrt{3}Pl \] \[ T = -P(3 + 2\sqrt{3}) \] (Знак минус означает, что стержень работает на сжатие, а не на растяжение). Сумма моментов относительно оси \( Y \): \[ \sum M_y = 0: -F_{1z} \cdot 0 - F_{1x} \cdot 3l - F_{2x} \cdot 1.5l + X_B \cdot 3l = 0 \] \[ -P \cdot 3l - 3P \cdot 1.5l + X_B \cdot 3l = 0 \] \[ -3Pl - 4.5Pl + 3l X_B = 0 \] \[ 3l X_B = 7.5Pl \Rightarrow X_B = 2.5P \] Сумма моментов относительно оси \( Z \): \[ \sum M_z = 0: F_{1x} \cdot 2l + F_{2x} \cdot 2l + T_y \cdot 2l - Y_B \cdot 3l = 0 \] \[ P \cdot 2l + 3P \cdot 2l - T \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2l - 3l Y_B = 0 \] Подставим найденное \( T \): \[ 2Pl + 6Pl - (-P(3 + 2\sqrt{3})) \sqrt{3} l - 3l Y_B = 0 \] \[ 8Pl + (3\sqrt{3} + 6)Pl - 3l Y_B = 0 \] \[ 3l Y_B = (14 + 3\sqrt{3})Pl \Rightarrow Y_B = \frac{14 + 3\sqrt{3}}{3} P \] 4. Найдем реакции в точке \( A \) из уравнений проекций сил на оси: \[ \sum F_x = 0: X_A + X_B + F_{1x} + F_{2x} = 0 \] \[ X_A + 2.5P + P + 3P = 0 \Rightarrow X_A = -6.5P \] \[ \sum F_y = 0: Y_A + Y_B + T_y = 0 \] \[ Y_A + \frac{14 + 3\sqrt{3}}{3}P - \frac{\sqrt{3}}{2}(-P(3 + 2\sqrt{3})) = 0 \] \[ Y_A + \frac{14}{3}P + \sqrt{3}P + \frac{3\sqrt{3}}{2}P + 3P = 0 \] \[ Y_A = -P(\frac{23}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{2}) \] \[ \sum F_z = 0: Z_A + F_{1z} + T_z - P = 0 \] \[ Z_A + P\sqrt{3} + 0.5(-P(3 + 2\sqrt{3})) - P = 0 \] \[ Z_A + P\sqrt{3} - 1.5P - P\sqrt{3} - P = 0 \] \[ Z_A - 2.5P = 0 \Rightarrow Z_A = 2.5P \] Ответ: Реакции опор найдены через параметр \( P \). Отрицательные значения указывают на то, что реальное направление векторов противоположно выбранному на схеме.