Решение задач 150-153

Ниже представлены решения задач с 150 по 153, оформленные для записи в тетрадь. Задача 150. а) Условие: \( 7 \le n < 10 \). Целые значения \( n \): 7, 8, 9. б) Условие: \( 0 < n \le 3,9 \). Целые значения \( n \): 1, 2, 3. Задача 151. Чтобы высказывание было ложным, нужно найти значения, которые не удовлетворяют условию. а) Высказывание «\( m < 8 \) или \( m > 11 \)» ложно, когда \( 8 \le m \le 11 \). Целые значения \( m \): 8, 9, 10, 11. б) Высказывание «\( |m| \ge 2 \)» ложно, когда \( |m| < 2 \). Целые значения \( m \): -1, 0, 1. Задача 152. а) Контрпример: Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к боковой стороне. Она не будет являться биссектрисой (биссектрисой является только высота, проведённая к основанию). б) Контрпример: Два угла по \( 90^\circ \), которые лежат отдельно друг от друга и не имеют общей стороны. Их сумма равна \( 180^\circ \), но они не смежные. Задача 153. а) Контрпример: Равнобедренный треугольник. Если провести медиану к боковой стороне, она не будет являться высотой, но сам треугольник при этом остаётся равнобедренным. б) Контрпример: Два треугольника, у которых углы равны (например, \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)), но стороны имеют разную длину (один треугольник маленький, другой большой). Такие треугольники подобны, но не равны. Задача 154. В пенале 5 синих и 4 жёлтых карандаша (всего 9). а) Истинно. Если мы возьмём 5 карандашей, то даже если все 4 жёлтых попадут в выборку, пятый обязательно будет синим. б) Ложно. Можно взять 2 синих и 1 жёлтый. в) Истинно. Если мы возьмём 6 карандашей, то синих может быть максимум 5, значит, шестой обязательно будет жёлтым. Чтобы жёлтых было меньше двух (то есть 0 или 1), нужно взять 6 или 5 синих, но синих всего 5. Значит, минимум 1 жёлтый будет всегда, а при 6 карандашах — минимум \( 6 - 5 = 1 \). Стоп, уточним: если взять 5 синих и 1 жёлтый, то условие «обязательно будет 2 жёлтых» не выполняется. Значит, высказывание в) ложно. Задача 155. В пенале 6 синих и 3 жёлтых (всего 9). а) Истинно. Жёлтых всего 3, поэтому среди любых 4-х хотя бы один будет синим. б) Ложно. Жёлтых всего 3, а синих 6. Ни того, ни другого цвета нет в количестве 7 штук. в) Ложно. Можно взять 2 синих и 1 жёлтый. г) Истинно. Синих всего 6. Если взять 8 карандашей, то синих будет максимум 6, значит, остальные \( 8 - 6 = 2 \) обязательно будут жёлтыми. Задача 156. Число \( x \) делится на 12, значит \( x = 12 \cdot k \). а) Истинно. Если число делится на 12, оно делится и на 6 (так как 12 делится на 6). б) Истинно. Число, кратное 12, всегда чётное, значит, его последняя цифра чётная (0, 2, 4, 6 или 8). в) Ложно. Например, если \( x = 24 \), то 144 делится на 24. Но если \( x = 1200 \), то 144 на \( x \) не делится. Это не всегда истинно. г) Ложно. Например, \( x = 12 \) или \( x = 24 \) не делятся на 9. Задача 157. Площадь \( S = a \cdot b = 36 \). Возможные пары сторон \( (a, b) \): (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6). а) Истинно. Во всех парах хотя бы одно число чётное. б) Ложно. Прямоугольник может иметь стороны 4 и 9, тогда он не квадрат. в) Ложно. Максимальный периметр при (1, 36) равен \( P = 2 \cdot (1 + 36) = 74 \). Это не больше 72? Нет, 74 больше 72. Проверим другие: (2, 18) \( P = 40 \). Утверждение «можно сказать, что оно истинно» означает, что оно истинно для всех случаев. Так как для (2, 18) \( P = 40 < 72 \), утверждение в) не является всегда истинным. г) Истинно. Максимальный периметр равен 74 (при сторонах 1 и 36), что меньше 75. Значит, для любых натуральных сторон это утверждение верно.