Решение задачи по статистике: вариационный и статистический ряды

Решение задачи по статистике 1. Вариационный ряд Для построения вариационного ряда упорядочим исходные данные (время решения задач в минутах) по возрастанию. Объем выборки \( n = 20 \). 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 21, 25, 26, 28. 2. Статистический ряд Статистический ряд представляет собой таблицу, где \( x_i \) — уникальные значения выборки (варианты), а \( n_i \) — их частота (сколько раз значение встречается в выборке). Варианта \( x_i \): 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 25, 26, 28. Частота \( n_i \): 1, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1. Сумма частот: \( \sum n_i = 20 \). Относительные частоты \( w_i = \frac{n_i}{n} \): 0.05, 0.05, 0.1, 0.1, 0.15, 0.1, 0.1, 0.1, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05, 0.05. 3. Эмпирическая функция распределения Эмпирическая функция распределения \( F^*(x) \) определяется как относительная частота событий, при которых значение признака меньше \( x \): \[ F^*(x) = \begin{cases} 0, & x \le 12 \\ 0.05, & 12 < x \le 13 \\ 0.10, & 13 < x \le 14 \\ 0.20, & 14 < x \le 15 \\ 0.30, & 15 < x \le 16 \\ 0.45, & 16 < x \le 17 \\ 0.55, & 17 < x \le 18 \\ 0.65, & 18 < x \le 19 \\ 0.75, & 19 < x \le 20 \\ 0.80, & 20 < x \le 21 \\ 0.85, & 21 < x \le 25 \\ 0.90, & 25 < x \le 26 \\ 0.95, & 26 < x \le 28 \\ 1, & x > 28 \end{cases} \] 4. Числовые характеристики Выборочное среднее \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i n_i \] \[ \bar{x} = \frac{12+13+28+30+48+34+36+38+20+21+25+26+28}{20} = \frac{359}{20} = 17.95 \] Выборочная дисперсия \( D_b \): \[ D_b = \frac{1}{n} \sum x_i^2 n_i - (\bar{x})^2 \] Сумма квадратов: \( 12^2 + 13^2 + 2\cdot14^2 + 2\cdot15^2 + 3\cdot16^2 + 2\cdot17^2 + 2\cdot18^2 + 2\cdot19^2 + 20^2 + 21^2 + 25^2 + 26^2 + 28^2 = 6847 \) \[ D_b = \frac{6847}{20} - (17.95)^2 = 342.35 - 322.2025 = 20.1475 \] Среднеквадратическое отклонение \( \sigma_b \): \[ \sigma_b = \sqrt{D_b} = \sqrt{20.1475} \approx 4.49 \] Размах выборки \( R \): \[ R = x_{max} - x_{min} = 28 - 12 = 16 \] Медиана \( Me \): Так как \( n=20 \) (четное), медиана — среднее арифметическое 10-го и 11-го членов вариационного ряда: \[ Me = \frac{17 + 17}{2} = 17 \] Мода \( Mo \): Значение, встречающееся чаще всего: \[ Mo = 16 \] (встречается 3 раза).