Решение квадратных уравнений: примеры с ответами

Контрольная работа №1. Решите уравнение: а) \(3x^2 - 5x - 8 = 0\) Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121\] \[\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1\] Ответ: \(-1; 2\frac{2}{3}\). б) \(49x^2 - 4 = 0\) Разложим по формуле разности квадратов: \[(7x - 2)(7x + 2) = 0\] \(7x - 2 = 0\) или \(7x + 2 = 0\) \(x_1 = \frac{2}{7}\); \(x_2 = -\frac{2}{7}\) Ответ: \(\pm \frac{2}{7}\). в) \(7x^2 = 21x\) Перенесем всё в одну сторону и вынесем общий множитель: \[7x^2 - 21x = 0\] \[7x(x - 3) = 0\] \(7x = 0\) или \(x - 3 = 0\) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 3\) Ответ: \(0; 3\). №2. Разложите на множители квадратный трёхчлен: \(9x^2 - 2x - 11\) Приравняем к нулю и найдем корни: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400\] \[\sqrt{D} = 20\] \[x_1 = \frac{2 + 20}{18} = \frac{22}{18} = \frac{11}{9}\] \[x_2 = \frac{2 - 20}{18} = \frac{-18}{18} = -1\] Используем формулу \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \[9(x - \frac{11}{9})(x + 1) = (9x - 11)(x + 1)\] Ответ: \((9x - 11)(x + 1)\). №3. Решите уравнение: а) \(\frac{x^2}{x + 2} = \frac{3x - 2}{x + 2}\) ОДЗ: \(x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\). Так как знаменатели равны, приравниваем числители: \[x^2 = 3x - 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 1, x_2 = 2\). Оба корня подходят по ОДЗ. Ответ: \(1; 2\). б) \(\frac{x^2 + 4x - 21}{x^2 - 9} - \frac{2}{x + 3} = 0\) Заметим, что \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). ОДЗ: \(x \neq 3, x \neq -3\). Приведем к общему знаменателю: \[\frac{x^2 + 4x - 21 - 2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = 0\] \[x^2 + 4x - 21 - 2x + 6 = 0\] \[x^2 + 2x - 15 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = -5, x_2 = 3\). Корень \(x = 3\) не подходит по ОДЗ. Ответ: \(-5\). №4. Задача. Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость против течения \((9 - x)\) км/ч, а по течению \((9 + x)\) км/ч. Время против течения: \(\frac{80}{9 - x}\). Время по течению: \(\frac{80}{9 + x}\). По условию время по течению на 2 часа меньше: \[\frac{80}{9 - x} - \frac{80}{9 + x} = 2\] Разделим всё уравнение на 2: \[\frac{40}{9 - x} - \frac{40}{9 + x} = 1\] Приводим к общему знаменателю: \[\frac{40(9 + x) - 40(9 - x)}{(9 - x)(9 + x)} = 1\] \[360 + 40x - 360 + 40x = 81 - x^2\] \[80x = 81 - x^2\] \[x^2 + 80x - 81 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 1, x_2 = -81\). Скорость не может быть отрицательной, значит \(x = 1\). Ответ: 1 км/ч.