Решение задачи по статистике: вариационный и статистический ряд

Решение задачи по статистике 1. Вариационный ряд Расположим элементы выборки в порядке возрастания: 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 21, 24, 25, 28. 2. Статистический ряд Составим таблицу распределения частот, где \(x_i\) — значение (время), а \(n_i\) — частота (сколько раз встречается): \(x_i\): 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 25, 28 \(n_i\): 1, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1 Сумма частот: \[ \sum n_i = 20 = n \] 3. Эмпирическая функция распределения \(F^*(x)\) Она определяется как \(F^*(x) = \frac{n_x}{n}\), где \(n_x\) — число наблюдений, меньших \(x\): \[ F^*(x) = \begin{cases} 0, & x \le 12 \\ 1/20 = 0.05, & 12 < x \le 13 \\ 2/20 = 0.10, & 13 < x \le 14 \\ 4/20 = 0.20, & 14 < x \le 15 \\ 6/20 = 0.30, & 15 < x \le 16 \\ 9/20 = 0.45, & 16 < x \le 17 \\ 11/20 = 0.55, & 17 < x \le 18 \\ 13/20 = 0.65, & 18 < x \le 19 \\ 15/20 = 0.75, & 19 < x \le 20 \\ 16/20 = 0.80, & 20 < x \le 21 \\ 17/20 = 0.85, & 21 < x \le 24 \\ 18/20 = 0.90, & 24 < x \le 25 \\ 19/20 = 0.95, & 25 < x \le 28 \\ 1, & x > 28 \end{cases} \] 4. Числовые характеристики Выборочное среднее (\(\bar{x}\)): \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i \cdot n_i \] \[ \bar{x} = \frac{12+13+28+30+48+34+36+38+20+21+24+25+28}{20} = \frac{357}{20} = 17.85 \] Выборочная дисперсия (\(D_b\)): \[ D_b = \frac{1}{n} \sum x_i^2 \cdot n_i - (\bar{x})^2 \] Сначала найдем среднее квадратов: \[ \overline{x^2} = \frac{12^2+13^2+2\cdot14^2+2\cdot15^2+3\cdot16^2+2\cdot17^2+2\cdot18^2+2\cdot19^2+20^2+21^2+24^2+25^2+28^2}{20} \] \[ \overline{x^2} = \frac{144+169+392+450+768+578+648+722+400+441+576+625+784}{20} = \frac{6697}{20} = 334.85 \] \[ D_b = 334.85 - (17.85)^2 = 334.85 - 318.6225 = 16.2275 \] Среднеквадратическое отклонение (\(\sigma_b\)): \[ \sigma_b = \sqrt{D_b} = \sqrt{16.2275} \approx 4.03 \] Размах выборки (\(R\)): \[ R = x_{max} - x_{min} = 28 - 12 = 16 \] Медиана (\(Me\)): Так как \(n=20\) (четное), медиана — среднее арифметическое 10-го и 11-го членов вариационного ряда: \[ Me = \frac{17 + 17}{2} = 17 \] Мода (\(Mo\)): Значение, встречающееся чаще всего: \[ Mo = 16 \] (встречается 3 раза).